Система уравнений

[KiberMath]

Подскажите пожалуйста как можно похитрее решить эту систему уравнений
А то в лоб решать очень уж большие выкладки получаются...
$ \left\{ \begin{array}{l} x \cdot y + x \cdot z = - 4\\ y \cdot z + y \cdot x = - 1, \\ z \cdot x + z \cdot y = - 9, \end{array} \right. $

[Brukvalub]

Делите уравнения друг на друга.

[KiberMath]

Brukvalub
Разделил первое уравнение на второе
удалось выразить x через y и z...
А дальше?

Подставил значение x в третье уравнение...
Решил квадратное уравнение и выразил у через z...
А дальше что-то куда-то подставлять уж очень грамоздко получаеться...

[Brukvalub]

Вычтем второе уравнение из первого. Имеем:

$$ x(z - y) = - 3\;\quad x(z + y) = - 4 \Rightarrow \frac{{z - y}} {{z + y}} = \frac{3}{4} \Rightarrow z = 7y$$

Далее - справитесь.

[V.V.]

Можно сложить все уравнения и получить, чему равны $xy$, $yz$, $zx$. А потом перемножить получившиеся уравнения и получить, чему равно выражение $(xyz)^2$. После чего легко найти решения.

[KiberMath]

Brukvalub
что-то здесь не то...
вычтя второе уравнение из первого получил
xz - yz = -3
z(x-y) = -3
Разделил на последние
получил
$\frac{x-y}{x+y} = \frac{-3}{-9}откуда
x=2y

Аналогичные финты проделал и с другими строками
Вычел из второй третью и получил
$\frac{y-z}{y+z}= -2$
y=-z
Ну и из третьего первое
$z=-\frac{3}{2}y$

И получил полнейшую фигню

$ \left\{ \begin{array}{l} z = -\frac{3}{2}y,\\ y=-z, \\ x=2y, \end{array} \right. $
у которой решение x=0; y=0; z=0
которое не являеться решением первой...

[Brukvalub]

KiberMath писал(а):

И получил полнейшую фигню

Делал "криво":

KiberMath писал(а):

Вычел из второй третью и получил
$\frac{y-z}{y+z}= -2$
y=-z

Неужели трудно правильно сложить пару чисел и не позориться с ерундой на весь Форум?:twisted:

[Руст]

Зачем так сложно. Проще вначале всё сложить и поделить на 2. А после вычесть из него каждое уравнение и получить попарные произведения. Так как произведения не равны нулю, сделав такие же операции с произведениями получим значение каждой переменной.

[venja]

Руст писал(а):

Зачем так сложно. Проще вначале всё сложить и поделить на 2. А после вычесть из него каждое уравнение и получить попарные произведения. Так как произведения не равны нулю, сделав такие же операции с произведениями получим значение каждой переменной.

Это практически то же самое, что предлагал V.V.
Именно такой путь стандартен для решения таких систем (и, по-видимому, самый короткий).

[KiberMath]

Удалось получить однородную систему линейных уравнений
$ \left\{ \begin{array}{l} x-2y=0\\ y+\frac{1}{3}z=0\\ z+3y=0 \end{array} \right. $

Которая совместная но неопределенная

$ \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ z=-3y \end{array} \right. $

У этой систему уж очень много решений... Как мне определить те, которые являются решением исходной системы?
Методом тыка нашел, что решение {(2, 1, -3), (-2, -1, 3)}
Как можно доказать, что других решений нет?

Добавлено спустя 2 минуты 15 секунд:

Brukvalub писал(а):

Неужели трудно правильно сложить пару чисел и не позориться с ерундой на весь Форум?:twisted:

Обещаю быть аккуратнее

[Brukvalub]

Все это начинает напоминать театр абсурда, поэтому показываю (методом Руста - здесь все убеждены, что он проще всего ):

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {xy = a} \\ {xz = b} \\ {yz = c} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {a + b = - 4} \\ {c + a = - 1} \\ {b + c = - 9} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow 2a + 2b + 2c = - 14 \Rightarrow a + b + c = - 7 \]

Далее находим:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {xy = 2} \\ {xz = - 6} \\ {yz = - 3} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow x = 2y \Rightarrow y^2 = 1 \]

Далее - справитесь сами.

[Руст]

Если всё ущё решаете это

KiberMath писал(а):

Подскажите пожалуйста как можно похитрее решить эту систему уравнений
А то в лоб решать очень уж большие выкладки получаются...
$ \left\{ \begin{array}{l} x \cdot y + x \cdot z = - 4\\ y \cdot z + y \cdot x = - 1, \\ z \cdot x + z \cdot y = - 9, \end{array} \right. $

то я предлагал всё сложить и делить попалам, т.е. $xy+yz+zx=-7$, далее вычитывая из него другие:
$yz=-3$
$xz=-6$
$xy=2$
Далее умножая все и извлекая квадратный корень $xyz=\pm 6$. Деля на полученные уравнения $(x,y,z)=\pm(2,1,-3)$.

[Someone]

KiberMath писал(а):

Которая совместная но неопределенная

$ \left\{ \begin{array}{l} x=2y\\ z=-3y \end{array} \right. $

У этой систему уж очень много решений... Как мне определить те, которые являются решением исходной системы?

Раз уж Вы получили выражения $x$ и $z$ через $y$, почему бы не подставить их в исходную систему? Это же стандартная ситуация.

[KiberMath]

Someone
Действительно )
Руст
Ловко! Очень красиво

Всем огромное спасибо

[KiberMath]

а как можно решить вот такую систему?
$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 8y +10 = 0\\ 2x^2 - 7xy + 3y^2 + 13x - 4y - 7 =0 \end{array} \right. $
Пока даже не знаю с чего начать