2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Система уравнений
Сообщение25.10.2007, 19:11 
Подскажите пожалуйста как можно похитрее решить эту систему уравнений
А то в лоб решать очень уж большие выкладки получаются...
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
x \cdot y + x \cdot z = - 4\\ 
y \cdot z + y \cdot x = - 1, \\
z \cdot x + z \cdot y = - 9,
\end{array} \right. 
$

 
 
 
 
Сообщение25.10.2007, 19:15 
Аватара пользователя
Делите уравнения друг на друга.

 
 
 
 
Сообщение25.10.2007, 20:52 
Brukvalub
Разделил первое уравнение на второе
удалось выразить x через y и z...
А дальше?

Подставил значение x в третье уравнение...
Решил квадратное уравнение и выразил у через z...
А дальше что-то куда-то подставлять уж очень грамоздко получаеться... :?

 
 
 
 
Сообщение25.10.2007, 21:21 
Аватара пользователя
Вычтем второе уравнение из первого. Имеем: $$
x(z - y) =  - 3\;\quad x(z + y) =  - 4 \Rightarrow \frac{{z - y}}
{{z + y}} = \frac{3}{4} \Rightarrow z = 7y$$Далее - справитесь.

 
 
 
 
Сообщение25.10.2007, 22:35 
Можно сложить все уравнения и получить, чему равны $xy$, $yz$, $zx$. А потом перемножить получившиеся уравнения и получить, чему равно выражение $(xyz)^2$. После чего легко найти решения.

 
 
 
 
Сообщение25.10.2007, 22:40 
Brukvalub
что-то здесь не то...
вычтя второе уравнение из первого получил
xz - yz = -3
z(x-y) = -3
Разделил на последние
получил
$\frac{x-y}{x+y} = \frac{-3}{-9}откуда
x=2y

Аналогичные финты проделал и с другими строками
Вычел из второй третью и получил
$\frac{y-z}{y+z}= -2$
y=-z
Ну и из третьего первое
$z=-\frac{3}{2}y$

И получил полнейшую фигню

$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
z = -\frac{3}{2}y,\\ 
y=-z, \\
x=2y,
\end{array} \right. 
$
у которой решение x=0; y=0; z=0 :?
которое не являеться решением первой... :shock:

 
 
 
 
Сообщение26.10.2007, 06:54 
Аватара пользователя
KiberMath писал(а):
И получил полнейшую фигню
Делал "криво":
KiberMath писал(а):
Вычел из второй третью и получил
$\frac{y-z}{y+z}= -2$
y=-z
Неужели трудно правильно сложить пару чисел и не позориться с ерундой на весь Форум?:twisted:

 
 
 
 
Сообщение26.10.2007, 07:20 
Зачем так сложно. Проще вначале всё сложить и поделить на 2. А после вычесть из него каждое уравнение и получить попарные произведения. Так как произведения не равны нулю, сделав такие же операции с произведениями получим значение каждой переменной.

 
 
 
 
Сообщение26.10.2007, 11:01 
Руст писал(а):
Зачем так сложно. Проще вначале всё сложить и поделить на 2. А после вычесть из него каждое уравнение и получить попарные произведения. Так как произведения не равны нулю, сделав такие же операции с произведениями получим значение каждой переменной.


Это практически то же самое, что предлагал V.V.
Именно такой путь стандартен для решения таких систем (и, по-видимому, самый короткий).

 
 
 
 
Сообщение27.10.2007, 20:13 
Удалось получить однородную систему линейных уравнений
$
\left\{ \begin{array}{l} 
x-2y=0\\ 
y+\frac{1}{3}z=0\\
z+3y=0
\end{array} \right. 
$

Которая совместная но неопределенная

$
\left\{ \begin{array}{l} 
x=2y\\ 
z=-3y
\end{array} \right. 
$

У этой систему уж очень много решений... Как мне определить те, которые являются решением исходной системы?
Методом тыка нашел, что решение {(2, 1, -3), (-2, -1, 3)}
Как можно доказать, что других решений нет?

Добавлено спустя 2 минуты 15 секунд:

Brukvalub писал(а):
Неужели трудно правильно сложить пару чисел и не позориться с ерундой на весь Форум?:twisted:

:oops: Обещаю быть аккуратнее

 
 
 
 
Сообщение27.10.2007, 20:28 
Аватара пользователя
Все это начинает напоминать театр абсурда, поэтому показываю (методом Руста - здесь все убеждены, что он проще всего :D ): \[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {xy = a}  \\
   {xz = b}  \\
   {yz = c}  \\
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {a + b =  - 4}  \\
   {c + a =  - 1}  \\
   {b + c =  - 9}  \\
\end{array}} \right. \Rightarrow 2a + 2b + 2c =  - 14 \Rightarrow a + b + c =  - 7
\]
Далее находим: \[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {xy = 2}  \\
   {xz =  - 6}  \\
   {yz =  - 3}  \\
\end{array}} \right. \Rightarrow x = 2y \Rightarrow y^2  = 1
\] Далее - справитесь сами.

 
 
 
 
Сообщение27.10.2007, 20:38 
Если всё ущё решаете это
KiberMath писал(а):
Подскажите пожалуйста как можно похитрее решить эту систему уравнений
А то в лоб решать очень уж большие выкладки получаются...
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
x \cdot y + x \cdot z = - 4\\ 
y \cdot z + y \cdot x = - 1, \\
z \cdot x + z \cdot y = - 9,
\end{array} \right. 
$

то я предлагал всё сложить и делить попалам, т.е. $xy+yz+zx=-7$, далее вычитывая из него другие:
$yz=-3$
$xz=-6$
$xy=2$
Далее умножая все и извлекая квадратный корень $xyz=\pm 6$. Деля на полученные уравнения $(x,y,z)=\pm(2,1,-3)$.

 
 
 
 
Сообщение27.10.2007, 20:42 
Аватара пользователя
KiberMath писал(а):
Которая совместная но неопределенная

$
\left\{ \begin{array}{l} 
x=2y\\ 
z=-3y
\end{array} \right. 
$

У этой систему уж очень много решений... Как мне определить те, которые являются решением исходной системы?


Раз уж Вы получили выражения $x$ и $z$ через $y$, почему бы не подставить их в исходную систему? Это же стандартная ситуация.

 
 
 
 
Сообщение27.10.2007, 21:39 
Someone
Действительно )
Руст
:shock: Ловко! Очень красиво

Всем огромное спасибо :D

 
 
 
 
Сообщение28.10.2007, 19:17 
а как можно решить вот такую систему?
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 8y +10 = 0\\ 
2x^2 - 7xy + 3y^2 + 13x - 4y - 7 =0
\end{array} \right. 
$
Пока даже не знаю с чего начать :(

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group