Чему равен угол?

[Walsh]

Помогите решить.

В треугольнике $ABC$ $\angle{CAB} = 18^{\circ}$, а $\angle{BCA}=24^{\circ}$.
На сторонах $CA$ и $AB$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно таким образом,
что $\angle{CEB} = 60^{\circ}$, $\angle{AEF} = 60^{\circ}$.
Чему равен $\angle{BFC}$?




Я нашел, что
$\angle{AFE} = 102^{\circ}$,
$\angle{FEB} = 60^{\circ}$,
$\angle{EBC} = 96^{\circ}$,
$\angle{FBE} = 42^{\circ}$,
$\angle{BFE} = 78^{\circ}$.

Дальше не продвинулся ни на йоту

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

Walsh
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

Картинка очень красивая.
Если ничего не придумывается, то надо просто обозначить величину искомого угла через $x$ и продолжить выписывать соотношения, связанные с вертикальными, смежными углами и суммой углов в треугольнике. Глядишь, получится уравнение. А потом, упростив его и решив, можно и найти спрятанный секрет, если он есть.
Да вот вроде бы так просто решить не получается:) Вроде бы подобная задача уже встречалась?

[inky]

Вроде все есть...осталось еще найти чему равен $\angle{ABC}$ и выразить остальные два угла.

[svv]

В такой ситуации
$\ctg\varepsilon=\dfrac{\ctg\alpha\ctg\delta-\ctg\beta\ctg\gamma}{\ctg\alpha+\ctg\delta+\ctg\beta+\ctg\gamma}$
Очевидно, как-то сильно упростить это нельзя.

Остается надежда на специальный выбор углов в задаче, тем более, что результат получается, в духе остальных углов, кратным $6°$. Надо искать секрет.

Может, есть теорема какая-нибудь?

[Walsh]

Вопрос модератору: "Почему задачку не вернули в раздел "Олимпиадные задачи"? Это же олимпиадная задача

[grizzly]

Могу посоветовать достроить до ромбоида $ABCD$, в котором $AC$ и $BD$ будут диагоналями. Поскольку т.$E$ лежит на отрезке $FD$, то здесь можно копать и копать... Впрочем, я умозрительно до ответа не докопал, но там появляется столько всяких разных углов в 30 градусов, что с большой вероятностью выплывет какое-то подобие или просто нужное соотношение.

[provincialka]

Подозреваю, что одним подсчетом углов в такой задаче не обойдешься...

Что касается конкретных значений: угол $\angle ABE= 42^\circ = 18^\circ + 24^\circ$, то есть внешнему углу $B$ треугольника $ABC$. Может, это что-то даст...

-- 01.05.2015, 23:55 --

Получается, что $EF$ и $BA$ -- биссектрисы внешних углов треугольника $BEC$. Что, собственно, решает задачу...

(все-таки хватило подсчета углов!)

[provincialka]

А впрочем, свойство биссектрис доказывается через расстояния (до сторон). Так что по сути "не только через углы"

И вообще интересно бы было сформулировать, что такое "задача, решаемая подсчетом углов"

[Deggial]

Walsh в сообщении #1010139 писал(а):

Вопрос модератору: "Почему задачку не вернули в раздел "Олимпиадные задачи"? Это же олимпиадная задача

Устное замечание за обсуждение действий модератора. Все такие вопросы нужно задавать в разделе "Работа форума".
А перенесли задачу по двум причинам:
1) Она относительно лёгкая.
2) Вы просили помочь решить. А теперь посмотрите на название текущего раздела.
Олимпиадные задачи и задачи типа "помогите решить" в общем случае пересекаются. И тогда раздел выбирается из тех или иных соображений. Лёгкие задачи переносятся в ПРР.

[grizzly]

provincialka в сообщении #1010224 писал(а):

И вообще интересно бы было сформулировать, что такое "задача, решаемая подсчетом углов"

У Вас получилось просто и очень красиво. А меня с ромбоидом не получилось -- там есть как минимум три подходящих для доказательства подобных треугольника, но как попроще, без вычислений, доказать их подобие я не увидел.

Вот если бы в моём решении получилось доказать подобие просто сравнивая всякие разные углы это было бы решение "подсчётом углов" с использованием дополнительных построений. Можно ли назвать Ваше решение "подсчётом углов" -- вопрос договорённости, конечно. Я бы согласился назвать -- раз уж мы ничем, кроме подсчёта не занимаемся до тех пор, пока не обнаруживаем выполнение более сильных условий, дающих решение задачи.

[provincialka]

grizzly в сообщении #1010279 писал(а):

Можно ли назвать Ваше решение "подсчётом углов" -- вопрос договорённости, конечно.

Я бы не сказала, что это просто вопрос договоренности. Можно рассуждать примерно так.

Существуют преобразования, сохраняющие углы, но не сохраняющие расстояния (конформные). Если после такого преобразования утверждение задачи останется верным, значит, его можно найти "подсчетом углов".
В данной же задаче это, похоже, не так: существенно используется "прямолинейность" биссектрис.

Ну, это наметка к рассуждению.

[Deggial]

provincialka в сообщении #1010224 писал(а):

И вообще интересно бы было сформулировать, что такое "задача, решаемая подсчетом углов"

Пусть дана фигура: множество точек, множество соединяющих их отрезков. Рассмотрим множество всех "наименьших" углов (т.е. таких углов, внутри которых локально не проходит ни один отрезок). Каждому углу поставим в соответствие переменную. Пусть некоторые углы (возможно, суммы углов) даны, а некоторые углы, надо найти. Выпишем для каждого треугольника $\Delta$ соотношения с углами $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=\pi$, для каждой прямой $ABC$ с отрезком $BD$ соотношение $\angle ABD + \angle DBC = \pi$. Добавим в список соотношений данные условия. Получим систему линейных уравнений. Если ранг матрицы системы равен числу переменных, то назовём такую задачу решаемой через подсчёт углов (иначе - нерешаемой).
(В данном случае имеем 5 треугольников, 15 переменных, 2 данных условия. Кроме того, надо ещё подумать, можно ли не выписывать лишние соотношения? И ранг подсчитать.)
Сразу встаёт вопрос: могут ли изменить ранг матрицы задачи дополнительные построения на чертеже. Если да, инварианта, увы, нет.
Ещё вопрос: если чертёж для задачи строится единственным образом, то верно ли, что ранг матрицы равен числу переменных? В данной задаче чертёж, очевидно, единственный.

[provincialka]

Deggial
А откуда берутся задачи, в которых ваша система уравнений не решается однозначно, но решение все-таки есть? Думаю, все-таки надо сформулировать определение в терминах преобразований... Подумаю еще...