2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интересный предел
Сообщение28.04.2015, 12:27 
Как можно доказать следующий предел? Возможно применить определенное интегрирование, но может что-то другое
$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}(n\bmod k)=1-\frac{\pi^2}{12}$$

 
 
 
 Re: Интересный предел
Сообщение28.04.2015, 14:20 
Сводится к среднему значению суммы числа делителей $\sigma(k)$.
$n\mod k=n-k\left[\frac{n}{k}\right]$, дальше просто посмотрите расчет $\sum\limits_{k=1}^n\sigma(k)$.

 
 
 
 Re: Интересный предел
Сообщение28.04.2015, 14:33 
Аватара пользователя
Это эквивалентно
$$
\sum_{k\leqslant n}k\biggl[\frac nk\biggr]\sim\frac{\pi^2}{12}n^2,
$$
в свою очередь
$$
\sum_{k\leqslant n}k\biggl[\frac nk\biggr]=\sum_{k\leqslant n}k\sum_{t\leqslant\frac nk}1=\sum_{t\leqslant n}\sum_{k\leqslant\frac nt}k=\frac{n^2}2\sum_{t\leqslant n}\frac1{t^2}+O(n\ln n)\sim\frac{\zeta(2)}2n^2.
$$
Значение дзета-функции в точке $2$ можно получить, например, раскладывая $x^2$ в ряд Фурье.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group