Интересный предел

[IVAN GARAGAN]

Как можно доказать следующий предел? Возможно применить определенное интегрирование, но может что-то другое

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}(n\bmod k)=1-\frac{\pi^2}{12}$$

[Sonic86]

Сводится к среднему значению суммы числа делителей $\sigma(k)$.
$n\mod k=n-k\left[\frac{n}{k}\right]$, дальше просто посмотрите расчет $\sum\limits_{k=1}^n\sigma(k)$.

[ex-math]

Это эквивалентно

$$ \sum_{k\leqslant n}k\biggl[\frac nk\biggr]\sim\frac{\pi^2}{12}n^2, $$

в свою очередь

$$ \sum_{k\leqslant n}k\biggl[\frac nk\biggr]=\sum_{k\leqslant n}k\sum_{t\leqslant\frac nk}1=\sum_{t\leqslant n}\sum_{k\leqslant\frac nt}k=\frac{n^2}2\sum_{t\leqslant n}\frac1{t^2}+O(n\ln n)\sim\frac{\zeta(2)}2n^2. $$

Значение дзета-функции в точке $2$ можно получить, например, раскладывая $x^2$ в ряд Фурье.