2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 02:17 


20/03/13
88
Столкнулся с проблемой, что не знаю методов решения уравнений, подобных приведённым ниже. Подскажите пожалуйста.

1. $z^2 + \sqrt{3} \cdot z \cdot |z| + |z|^2 = 0$

Во-первых, я не до конца понимаю, под модулем z подразумевается длина вектора в комплексной СО или модуль самого комплексного числа( $|z| = |a + b\cdot i | $ или $|z| = \sqrt{а^2 + b^2} $ ).

2. $(z + 2\cdot i)^4 =( i\cdot z - 1)^4$

Степени ведь снять нельзя, верно? Из-за неоднозначности значения корня.

3. $(\vec{z})^2 = 2\cdot z$

Левую часть, наверное, имеет смысл разложить по определению скалярного произведения и получить $|z|^2$ , но потом я снова не знаю, что делать :cry:

4. Получить вещественную и мнимую часть комплексного числа $z = (-1 - \cos\varphi + i\cdot \sin\varphi)^n$ .

Мне кажется, что нужно представить число в тригонометрической форме, а после воспользоваться первой формулой Муавра. Однако почему-то это представление получается чересчур громоздко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 02:55 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Monster в сообщении #1008742 писал(а):
Во-первых, я не до конца понимаю, под модулем z подразумевается длина вектора в комплексной СО или модуль самого комплексного числа( $|z| = |a + b\cdot i | $ или $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} $ ).
Если $a, b$ вещественны, то $|a + bi |= \sqrt{a^2 + b^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 03:06 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Monster в сообщении #1008742 писал(а):
я не до конца понимаю, под модулем z подразумевается длина вектора в комплексной СО или модуль самого комплексного числа
Хм. В общем, да, под модулем комплексного числа обычно понимают модуль самогО комплексного числа. Или у вас там «сАмого комплексного числа»? А что такое «комплексная СО»? В алгебре комплексных чисел, естественно.
1) Стоит попробовать записать $z$ в экспоненциальной форме, не знаю уж как вам ещё подсказать, чтоб нечаянно не нарушить правила.
2) Степени просто так снять, разумеется, нельзя, именно по названной вами причине. Однако, значений у корня ьаки не бесконечно много...
3) Нет.
4) Формула Муавра — очень полезная формула. Надо её только правильно применить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 03:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Monster в сообщении #1008742 писал(а):
3. $(\vec{z})^2 = 2\cdot z$

Левую часть, наверное, имеет смысл разложить по определению скалярного произведения и получить $|z|^2$ , но потом я снова не знаю, что делать :cry:
Откуда примерчик, если не секрет? Обычно так вещи не смешивают, и если нужно вдруг выразить скалярное произведение, его выражают сразу через обычные операции над комплексными числами как $(z\bar w+w\bar z)/2$. А $\vec z$ — это страшно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 12:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Там, наверное, $(\bar z)^2$.
Monster, присмотритесь, там точно стрелочка или только черточка? Какие могут быть векторы в этой теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 13:45 


20/03/13
88
svv в сообщении #1008830 писал(а):
Там, наверное, $(\bar z)^2$.
Monster, присмотритесь, там точно стрелочка или только черточка? Какие могут быть векторы в этой теме?


Нет, там точно стрелочка. Я ещё раз проверил.

Цитата:
Откуда примерчик, если не секрет? Обычно так вещи не смешивают, и если нужно вдруг выразить скалярное произведение, его выражают сразу через обычные операции над комплексными числами как $(z\bar w+w\bar z)/2$. А $\vec z$ — это страшно.


У меня просто есть лист задач по комплексными числа.

Цитата:
1) Стоит попробовать записать $z$ в экспоненциальной форме, не знаю уж как вам ещё подсказать, чтоб нечаянно не нарушить правила.


А можно как-нибудь решить без экспоненциальной? Используя, скажем, только тригонометрическую и алгебралическую?

Цитата:
3) Нет.


Почему нельзя заменить левую часть на $|z|^2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 13:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Monster в сообщении #1008838 писал(а):
А можно как-нибудь решить без экспоненциальной?

Можно: это квадратное уравнение для угадайте чего.

Monster в сообщении #1008838 писал(а):
Почему нельзя заменить левую часть на $|z|^2$?

Примерно по тем же причинам, по которым нельзя заменить её на логарифм килограмма.

Зато можно (и почти необходимо) представить обе части в показательной форме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 14:05 


20/03/14
12041
Monster в сообщении #1008838 писал(а):
Нет, там точно стрелочка.

Опечатка.
Monster в сообщении #1008838 писал(а):
А можно как-нибудь решить без экспоненциальной? Используя, скажем, только тригонометрическую и алгебралическую?

Можно. Заметив, что многочлен в левой части однороден относительно $z,\, |z|$. Разделите на что-нибудь, на модуль, например, вернее, вынесите за скобки, и вперед. Там видно будет.
Monster в сообщении #1008838 писал(а):
Почему нельзя заменить левую часть на $|z|^2$?

Потому что в $\mathbb C$ квадрат числа и квадрат модуля числа совсем не одно и то же. Посмотрите на $z=i$.

 i  И пора начать уже что-то делать, в Карантин унесу. Столько подсказок и ни одной попытки ими пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 18:19 


20/03/13
88
Цитата:
Можно. Заметив, что многочлен в левой части однороден относительно $z,\, |z|$. Разделите на что-нибудь, на модуль, например, вернее, вынесите за скобки, и вперед. Там видно будет.


Спасибо! Получилось.

Lia , у меня получилось решить все задачи, кроме второй. До меня пока не доходит, как справиться с ней.
Я попробовал перевести в тригонометрическую форму основания степеней и воспользоваться первой формулой Муавра, но получается крайне громоздкая, как мне кажется, нерешабельная штука.

Цитата:
Зато можно (и почти необходимо) представить обе части в показательной форме.


А можно как-то обойтись без этого и использовать только тригонометрической и алгебраической формами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение28.04.2015, 18:35 


20/03/14
12041
Monster в сообщении #1008917 писал(а):
Lia , у меня получилось решить все задачи, кроме второй. До меня пока не доходит, как справиться с ней.

Ну а что в ней такого. Решите уравнение $u^4=v^4$ над полем комплексных чисел.
Monster в сообщении #1008917 писал(а):
А можно как-то обойтись без этого и использовать только тригонометрической и алгебраической формами?

Не произойдет ничего страшного, если Вы наконец прочитаете, что такое показательная форма. По сути, она равносильна тригонометрической, но в работе значительно удобнее.

ЗЫ Кнопкой "Вставка" поучитесь пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение29.04.2015, 16:22 


20/03/13
88
Цитата:
Ну а что в ней такого. Решите уравнение $u^4=v^4$ над полем комплексных чисел.


Я не знаю, как это решить.
Получается уравнение $e^{4i\varphi} = $e^{4i\alpha}$$, а как его решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение29.04.2015, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Monster в сообщении #1009226 писал(а):
как его решить?

Экспонента $2\pi$-периодична. В том смысле, что $e^{i\alpha} = e^{i\beta} \Leftrightarrow \alpha-\beta = 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение29.04.2015, 16:35 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Monster в сообщении #1009226 писал(а):
Получается уравнение $e^{4i\varphi} = e^{4i\alpha}$, а как его решить?
Ну, перепишите ж его в тригонометрической форме, если так проще.

-- 30.04.2015, 00:39 --

demolishka в сообщении #1009229 писал(а):
Экспонента $2\pi$-периодична
Экспонента чего? Функция $e^z$ имеет период $2\pi i$, правда, не встречал, по-моему, такого термина в применении к функциям комплексной переменной. Функция $e^{ix}, x\in\mathbb R$ — она таки да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение29.04.2015, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
iifat в сообщении #1009230 писал(а):
...Функция $e^z$ имеет период $2\pi i$, правда, не встречал, по-моему, такого термина в применении к функциям комплексной переменной. ..
Боюсь вас огорчить, но в ТФКП бывают даже ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ функции! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения с комплексными числами.
Сообщение29.04.2015, 17:20 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
В задаче 2. можно действовать проще: заметим, что $(iz-1)^4=(z+i)^4$. После этого уравнение запишем в виде: $(z+2i)^4-(z+i)^4=0$ или $((z+2i)^2-(z+i)^2)((z+2i)^2+(z+i)^2)=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group