Уравнения с комплексными числами.

[svv]

2. Ещё способ. Можно заметить, что правая часть не равна нулю (как и левая), поэтому
$z+2i =c(iz-1)$, где $c^4=1$.

[Monster]

Mihiv,

Спасибо! Решил.

-- 29.04.2015, 19:03 --

svv в сообщении #1009272 писал(а):

Можно заметить, что правая часть не равна нулю (как и левая), поэтому
$z+2i =c(iz-1)$, где $c^4=1$.

Почему левая и правая части не равны нулю?
Как из этого следует ваше равенство?

[arseniiv]

Monster в сообщении #1009308 писал(а):

Почему левая и правая части не равны нулю?

Натуральная степень — это произведение. Когда произведение равно нулю?

Насчёт задачи 2 и уравнения $u^4 = v^4$. По определению $\sqrt[n]z$ — это такие числа $w_0,\ldots,w_{n-1}$, которые при возведении в $n$-ю степень дают $z$. Так что $u = \sqrt[4]{v^4}$. Дальше берём корень как обычно — по формуле Муавра:

$$\sqrt[4]{|v|^4e^{4i\operatorname{Arg}v}} = |v|e^{i(\operatorname{Arg}v + 2\pi m/4)} = |v|e^{i\operatorname{Arg}v}e^{2\pi im/4} = vc,\quad\text{где }c = \sqrt[4]1.$$

[Monster]

arseniiv ,
понял идею! Спасибо!

[svv]

$u^4=v^4$, где $u$ и $v$ зависят от $z$.
Для данного корня $z$ возможны две ситуации:
$\bullet$ $u^4\neq 0, v^4\neq 0$, тогда и $u\neq 0, v\neq 0$. Тогда по определению $c=\frac u v$, откуда $u=cv$. Возводя в четвертую степень, получим $u^4=c^4 v^4$, откуда $c^4=1$.
$\bullet$ $u^4=0, v^4=0$, тогда и $u=0, v=0$. Записать это в виде $u=cv$ тоже можно, но не нужно. У нас этот случай не реализуется.

[Monster]

svv,

ясно. Спасибо!

[arseniiv]

Monster в сообщении #1009322 писал(а):

понял идею! Спасибо!

Точно поняли? $\operatorname{Arg}z$ — это многозначный аргумент, за ним скрываются все возможные $\arg z+2\pi n$, а я немного скомкал вывод, так что удостоверьтесь, что каждое равенство предельно ясно.

Вот у svv без всяких разложений на части написано, и притом короче без каких-либо сокращений.