2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Комбинаторная задача
Сообщение27.04.2015, 14:41 


07/04/15
244
У меня есть шесть друзей. За некоторое время каждый из них был у меня на обеде 7 раз, каждые двое встретились у меня на обеде 5 раз, каждые трое 4 раза, каждые четверо 3 раза, с каждыми пятью я обедал 2 раза, со всеми шестью 1 раз, каждый друг отсутствовал у меня на обеде 8 раз. Сколько раз я обедал один, сколько всего было обедов?

По принципу включений-исключений:
$N(\bar{a_1}\dots\bar{a_6})=N-\binom{1}{6}\cdot 7+\binom{4}{6}\cdot 5 - \binom{3}{6}\cdot 4 + \binom{4}{6}\cdot 3 - \binom{5}{6}\cdot 2 + 1$
В итоге мы получаем, что $13$ раз обедал не один: $N(\bar{a_1}\dots\bar{a_6})=N - 13$

Как использовать информацию, что "каждый друг отсутствовал у меня на обеде 8 раз"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение27.04.2015, 18:48 
Заслуженный участник


03/01/09
1508
москва
2old в сообщении #1008506 писал(а):
Как использовать информацию, что "каждый друг отсутствовал у меня на обеде 8 раз"?

Первый друг присутствовал 7 раз, отсутствовал 8 раз. Вопрос на засыпку: сколько всего было обедов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение27.04.2015, 20:16 


07/04/15
244
mihiv
:facepalm: спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение19.05.2015, 11:47 


19/05/15
12
добрый день!

2old
скажите, пожалуйста, у Вас описка в третьем слагаемом 2 из 6 пять раз, а у Вас 4 из 6 пять раз? не могли бы Вы объяснить почему некоторые Вы включаете, а другие исключаете?

кто-нибудь может объяснить решение, предложение Виленкиным? я совсем его не понимаю. пытаюсь нарисовать схему, но результата нет.

https://yadi.sk/i/sy27fB75gj3PG

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение19.05.2015, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Ducmod в сообщении #1017099 писал(а):
в третьем слагаемом 2 из 6 пять раз, а у Вас 4 из 6 пять раз?

Но это ведь не принципиально, разве что из соображений наглядности. Понятно, что $C_6^2=C_6^4$ (очевидно, что нет разницы, выбрать 2 предмета левой рукой, а 4 правой, или наоборот).

Ducmod в сообщении #1017099 писал(а):
кто-нибудь может объяснить решение, предложение Виленкиным? я совсем его не понимаю.

Давайте разбирать по частям с самого начала не спеша. Но хоть что-то Вам должно быть понятно. Начнём с первого предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение19.05.2015, 21:20 


07/04/15
244
Ducmod
Да это лучше в том же Виленкине, например, прочитать, про включения-исключения. Но если не строго, то понять совсем просто, Нарисуйте диаграмму Эйлера для двух множеств ( с непустым пересечением) и выпишите мощность объединения. Потом тоже самое с тремя и станет понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение20.05.2015, 10:55 


19/05/15
12
2old в сообщении #1017466 писал(а):
Ducmod
Да это лучше в том же Виленкине, например, прочитать, про включения-исключения. Но если не строго, то понять совсем просто, Нарисуйте диаграмму Эйлера для двух множеств ( с непустым пересечением) и выпишите мощность объединения. Потом тоже самое с тремя и станет понятно.

спасибо, попробую.

-- 20.05.2015, 11:56 --

grizzly в сообщении #1017185 писал(а):
Ducmod в сообщении #1017099 писал(а):
в третьем слагаемом 2 из 6 пять раз, а у Вас 4 из 6 пять раз?

Но это ведь не принципиально, разве что из соображений наглядности. Понятно, что $C_6^2=C_6^4$ (очевидно, что нет разницы, выбрать 2 предмета левой рукой, а 4 правой, или наоборот).

Ducmod в сообщении #1017099 писал(а):
кто-нибудь может объяснить решение, предложение Виленкиным? я совсем его не понимаю.

Давайте разбирать по частям с самого начала не спеша. Но хоть что-то Вам должно быть понятно. Начнём с первого предложения.

спасибо. я самостоятельно изучаю, поэтому навыка пока нет, и не заметила сразу, что $C_6^2=C_6^4$ одно и тоже.
Вы правда готовы помочь пройтись по решению?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение20.05.2015, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Ducmod в сообщении #1017717 писал(а):
Вы правда готовы помочь пройтись по решению?

Конечно, что за странный вопрос. Я посмотрел решение -- мне оно понятно. Вопрос только в Вашем терпении и желании.
Я не вижу в данном решении какой-то скрытой идеи -- всё на виду, и если мы попытаемся идти по нему пошагово, то после двух-трёх разобранных предложений дальнейшая помощь Вам уже не понадобится. А если уже в начале пути возникнут трудности, мы просто уменьшим цифры в задаче, чтобы картинка решения стала доступна непосредственному умозрительному восприятию. Разберём упрощённую задачу и вернёмся к исходному условию.

-- 20.05.2015, 11:29 --

Итак, по первому предложению нужна помощь? Или озвучьте своё понимание, если оно есть, но Вы в нём не уверены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение20.05.2015, 13:31 


19/05/15
12
grizzly в сообщении #1017736 писал(а):
Ducmod в сообщении #1017717 писал(а):
Вы правда готовы помочь пройтись по решению?

Конечно, что за странный вопрос. Я посмотрел решение -- мне оно понятно. Вопрос только в Вашем терпении и желании.
Я не вижу в данном решении какой-то скрытой идеи -- всё на виду, и если мы попытаемся идти по нему пошагово, то после двух-трёх разобранных предложений дальнейшая помощь Вам уже не понадобится. А если уже в начале пути возникнут трудности, мы просто уменьшим цифры в задаче, чтобы картинка решения стала доступна непосредственному умозрительному восприятию. Разберём упрощённую задачу и вернёмся к исходному условию.

-- 20.05.2015, 11:29 --

Итак, по первому предложению нужна помощь? Или озвучьте своё понимание, если оно есть, но Вы в нём не уверены.


Большое спасибо! ) желание огромное, а главное надежда пока есть. я не знаю, почему мне это так сложно дается (я не верю, что люди бывают такие несообразительные, мне кажется любой человек может все что угодно понять; поэтому я стараюсь).

Первое предложение:

Согласно условию задачи, обед со всеми шестью друзьями состоялся 1 раз.

С 5ью одновременно обедал 2 раза. Поскольку 5 можно выбрать из 6 шестью способами, то получается, что есть 12 вариантов выбора 5 друзей для 2х обедов. Но нужно ли считать варианты размещения друзей, то есть сколько раз можно выбрать по 5 из шести?

С другой стороны, я не совсем понимаю причинно-следственную связь, а именно "то еще по одному разу я обедал с каждой пятеркой друзей в отсутствие шестого".

Написала, но вдруг поняла: может быть в этом предложении нет какого-то сложного смысла и оно означает именно, что
1 раз обедал с 6
2 раза обедал с 5, то есть эти два раза исключают одного человека
Так?

Нет, не так, потому что дальше он пишет, что на "этих семи". По условию каждый обедал у него 7 раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение20.05.2015, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
1) Да, со всеми шестью ровно 1 раз.
2) А вот с условием "с каждыми пятью -- 2 раза" нужно быть чуть внимательнее. Давайте посмотрим на одну такую пятёрку. Он с ними обедал 1 раз в составе шестёрки из прошлого пункта. И ещё 1 раз -- когда шестого с ними не было. И всё, это и есть те самые 2 раза с данной пятёркой.
3) А теперь посмотрим то же самое для каждой такой пятёрки. С каждой пятёркой 2 обеда. Первый обед (тот, что из п.1) у них всех повторяется один и тот же, а меняется второй: для каждой пятёрки он свой -- без шестого друга.

И это по первому предложению всё, не нужно ничего усложнять :)
Подытожим: один общий обед в п.1 и для каждой пятёрки ещё один свой обед (это ещё 6 обедов -- как Вы сами сказали, что есть 6 способов выбрать пятёрку друзей из шести). Вот и получается в сумме те самые 7 обедов, с которых начинается второе предложение в решении Виленкина.

Если с первым предложением понятно, пойдём дальше. Если нет, смело задавайте вопросы. (Пусть Вас не смущает, что я пока не отвечаю на все Ваши вопросы -- я их не всегда могу однозначно понять. Но это не означает, что к ним нельзя возвращаться.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение20.05.2015, 15:27 


19/05/15
12
grizzly в сообщении #1017828 писал(а):
1) Да, со всеми шестью ровно 1 раз.
2) А вот с условием "с каждыми пятью -- 2 раза" нужно быть чуть внимательнее. Давайте посмотрим на одну такую пятёрку. Он с ними обедал 1 раз в составе шестёрки из прошлого пункта. И ещё 1 раз -- когда шестого с ними не было. И всё, это и есть те самые 2 раза с данной пятёркой.
3) А теперь посмотрим то же самое для каждой такой пятёрки. С каждой пятёркой 2 обеда. Первый обед (тот, что из п.1) у них всех повторяется один и тот же, а меняется второй: для каждой пятёрки он свой -- без шестого друга.

И это по первому предложению всё, не нужно ничего усложнять :)
Подытожим: один общий обед в п.1 и для каждой пятёрки ещё один свой обед (это ещё 6 обедов -- как Вы сами сказали, что есть 6 способов выбрать пятёрку друзей из шести). Вот и получается в сумме те самые 7 обедов, с которых начинается второе предложение в решении Виленкина.

Если с первым предложением понятно, пойдём дальше. Если нет, смело задавайте вопросы. (Пусть Вас не смущает, что я пока не отвечаю на все Ваши вопросы -- я их не всегда могу однозначно понять. Но это не означает, что к ним нельзя возвращаться.)


спасибо! теперь вижу.
к сожалению, есть вопросы.
согласно условию, обед со всеми 6-ью был только один.
а в отношении 5 друзей написано, что с "каждой пятеркой", то есть все 6 вариантов (5 из 6) комбинации друзей обедали по 2 раза.

тогда почему мы не оставляем только одну пятерку (какую-то), которая один раз обедала в рамках 6-ти и один раз без участия шестого? а остальные пять пятерок обедали по два раза.
если каждая пятерка один раз обедала в рамках шестерки, то и тогда обедов со всем 6-ью было 6, а не 1.
запуталась )

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение20.05.2015, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Как я вижу, Вы неправильно понимаете, что означают эти разы.
Давайте на секунду отвлечёмся от задачи. И рассмотрим на простых примерах.

Первый пример. Допустим был один-единственный обед со всеми шестью друзьями. Тогда бы автор сказал про этот обед так: с шестью друзьями я обедал один раз, с каждой пятёркой -- один раз, с каждой четвёркой -- один раз, ..., с каждым другом -- 1 раз. Это всё верно, хотя обед был только один.

Другой пример. Пусть у автора только 3 друга (А, Б, В) и он пообедал 4 раза:
1) с А, Б, В;
2) с А, Б;
3) с А, В;
4) с Б, В.
Про эти обеды можно сказать так: со всеми я пообедал 1 раз, с каждыми двумя 2 раза, с каждым другом 3 раза (просто пересчитайте буквы в списке).
А можно сказать по-другому: со всеми я пообедал 1 раз, кроме того ещё с каждыми двумя по одному разу. (Вот в этом случае уже нельзя продолжить "кроме того, с каждым".)

Попытайтесь понять эти примеры и посмотреть, поможет ли это понимание понять Ваши последние вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение21.05.2015, 10:32 


19/05/15
12
grizzly в сообщении #1017844 писал(а):
Как я вижу, Вы неправильно понимаете, что означают эти разы.
Давайте на секунду отвлечёмся от задачи. И рассмотрим на простых примерах.

Первый пример. Допустим был один-единственный обед со всеми шестью друзьями. Тогда бы автор сказал про этот обед так: с шестью друзьями я обедал один раз, с каждой пятёркой -- один раз, с каждой четвёркой -- один раз, ..., с каждым другом -- 1 раз. Это всё верно, хотя обед был только один.

Другой пример. Пусть у автора только 3 друга (А, Б, В) и он пообедал 4 раза:
1) с А, Б, В;
2) с А, Б;
3) с А, В;
4) с Б, В.
Про эти обеды можно сказать так: со всеми я пообедал 1 раз, с каждыми двумя 2 раза, с каждым другом 3 раза (просто пересчитайте буквы в списке).
А можно сказать по-другому: со всеми я пообедал 1 раз, кроме того ещё с каждыми двумя по одному разу. (Вот в этом случае уже нельзя продолжить "кроме того, с каждым".)

Попытайтесь понять эти примеры и посмотреть, поможет ли это понимание понять Ваши последние вопросы.


Огромное спасибо ) я поняла. Сейчас напишу дальше

-- 21.05.2015, 11:43 --

Ducmod в сообщении #1018131 писал(а):
grizzly в сообщении #1017844 писал(а):
Как я вижу, Вы неправильно понимаете, что означают эти разы.
Давайте на секунду отвлечёмся от задачи. И рассмотрим на простых примерах.

Первый пример. Допустим был один-единственный обед со всеми шестью друзьями. Тогда бы автор сказал про этот обед так: с шестью друзьями я обедал один раз, с каждой пятёркой -- один раз, с каждой четвёркой -- один раз, ..., с каждым другом -- 1 раз. Это всё верно, хотя обед был только один.

Другой пример. Пусть у автора только 3 друга (А, Б, В) и он пообедал 4 раза:
1) с А, Б, В;
2) с А, Б;
3) с А, В;
4) с Б, В.
Про эти обеды можно сказать так: со всеми я пообедал 1 раз, с каждыми двумя 2 раза, с каждым другом 3 раза (просто пересчитайте буквы в списке).
А можно сказать по-другому: со всеми я пообедал 1 раз, кроме того ещё с каждыми двумя по одному разу. (Вот в этом случае уже нельзя продолжить "кроме того, с каждым".)

Попытайтесь понять эти примеры и посмотреть, поможет ли это понимание понять Ваши последние вопросы.


Перечитала, и снова не вполне понимаю, но зато очевиднее стало, что проблема пока не совсем в математике, а в … русском языке ))
Написано в задаче: "со всеми шестью обедал 1 раз". Я это читаю именно как написано, что был только 1 обед, на котором были все 6 друзей.

А дальше написано: "с каждыми пятью я обедал 2 раза" - эта фраза ставит меня в тупик. Я читаю, что поскольку "каждых" пятерок (то есть совокупность людей, равная 5, группа из 5) могло быть 6 вариантов, и с каждым из этих вариантов он обедал по 2 раза, тогда всего с пятерками он обедал 12 раз.

Дальше, Вы написали: "Тогда бы автор сказал про этот обед так: с шестью друзьями я обедал один раз, с каждой пятёркой -- один раз, с каждой четвёркой -- один раз, ..., с каждым другом -- 1 раз. Это всё верно, хотя обед был только один.". Насколько я понимаю, Вы здесь говорите именно про один единственный обед, в рамках которого присутствовали все 6 человек, и в зависимости от того, как мы рассматриваем эту шестерку, получается, что на этом обеде были и все варианты пятерок (прямо на обеде можно было бы "перетасовать" всех), все варианты четверок (тоже самое, потому что на этом обеде в зависимости от того, как считать, можно было бы пересчитать все варианты четверок) и так далее.

В этом смысл этой непонятной мне фразы "с каждой пятеркой"? Правильно тогда я понимаю, что слово "каждая" как раз говорит о том, что на одном общем обеде можно как угодно "пересчитать" присутствующих? Если так, то тогда я поняла, почему каждая пятерка обедала один раз в рамках шестерки (даже не знаю как это назвать - в более абстрактном, математическом смысле, да?) и далее было 6 обедов, на каждом из которых была только 1 пятерка. Тогда всего 7 обедов.

Я не уверена, что хорошо объясняю свою мысль.

-- 21.05.2015, 11:56 --

Сейчас думаю над следующим, но поняла, что видимо это loop :) как в языках программирования, или как в фильме Inception (Начало) ))

-- 21.05.2015, 12:07 --

Следующее:
"Но тогда на этих семи обедах с каждыми четырьмя я обедал именно 3 раза (два обеда впятером и 1 обед вшестером)"

1 обед - все варианты 4-ок в рамках общего обеда со всеми шестью друзьями (также как и с пятерками ранее)

1 обед - все варианты 4-ок в рамках обеда в каждой пятерке, но это тот же самый первый общий обед, на котором
присутствуют все 6 друзей, среди которых все варианты 5-ок, среди которых все варианты 4-ок

1 обед - 4ки в рамках обеда каждой пятерки без шестого друга. Здесь я снова не понимаю:

с пятерками 6 обедов; на каждом из них можно также предположить, что есть все варианты четверок,
то есть по пять 4-ок на каждом из 6 обедов; почему же обед только один?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение21.05.2015, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Всё нормально у Вас с объяснением мысли :)
Дальше откомментирую по порядку Вашего сообщения, не злоупотребляя цитированием.

Да, очевидно, что основная сложность у Вас пока не в математике, а в трактовке написанного. Понятно, что в бытовой речи такие объяснения никто не будет использовать, поэтому приходится воспринимать как некоторую абстракцию (здесь лучше подошло бы слово "формализм", а не абстракция).

Подтверждаю, что Ваше (первоначальное) понимание про 12 обедов с пятёрками ошибочно.

В следующем абзаце Вы были абсолютно точны и правы. И у меня и в задаче дела обстоят именно так.

Ну и Ваш окончательный вывод в целом верен, только привязка к слову "каждая" в нём не совсем уместна. Правильно было бы с Вашей стороны сказать так:
Ducmod в сообщении #1018131 писал(а):
В этом смысл этой непонятной мне фразы "с каждой пятеркой"? Правильно тогда я понимаю,что слово "каждая" как раз говорит о том,что на одном общем обеде можно как угодно "пересчитать" присутствующих? ...

Я ещё раз подробнее остановлюсь на этом. Такая вот трактовка (когда мы учитываем все варианты на одном обеде) она считается (формально) верной по умолчанию. Я ещё раз приведу пример с тремя друзьями, немного его видоизменив.
Пример 3. Пусть у автора только 3 друга (А, Б, В) и он пообедал 3 раза:
1) с А, Б, В;
2) с А, Б;
3) с Б, В.
Про эти обеды мы должны сказать так: со всеми я пообедал 1 раз, с друзьями А и Б я обедал 2 раза, с друзьями Б и В тоже 2 раза. (И наоборот -- по этому описанию мы можем однозначно восстановить сколько и каких было обедов.)
Внимание! когда мы говорим "обедал с А и Б" это не означает, что там больше никого не было. Даже в разговорной речи, чтобы собеседник понял, что кроме А и Б на обеде никого не было, нужно это оговаривать: например, говорить "только с А и Б". Поэтому и говорят: "обедал раз со всеми тремя, а кроме того ещё и с А и Б отдельно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задача
Сообщение22.05.2015, 10:24 


19/05/15
12
grizzly в сообщении #1018138 писал(а):
Всё нормально у Вас с объяснением мысли :)
Дальше откомментирую по порядку Вашего сообщения, не злоупотребляя цитированием.

Да, очевидно, что основная сложность у Вас пока не в математике, а в трактовке написанного. Понятно, что в бытовой речи такие объяснения никто не будет использовать, поэтому приходится воспринимать как некоторую абстракцию (здесь лучше подошло бы слово "формализм", а не абстракция).

Подтверждаю, что Ваше (первоначальное) понимание про 12 обедов с пятёрками ошибочно.

В следующем абзаце Вы были абсолютно точны и правы. И у меня и в задаче дела обстоят именно так.

Ну и Ваш окончательный вывод в целом верен, только привязка к слову "каждая" в нём не совсем уместна. Правильно было бы с Вашей стороны сказать так:
Ducmod в сообщении #1018131 писал(а):
В этом смысл этой непонятной мне фразы "с каждой пятеркой"? Правильно тогда я понимаю,что слово "каждая" как раз говорит о том,что на одном общем обеде можно как угодно "пересчитать" присутствующих? ...

Я ещё раз подробнее остановлюсь на этом. Такая вот трактовка (когда мы учитываем все варианты на одном обеде) она считается (формально) верной по умолчанию. Я ещё раз приведу пример с тремя друзьями, немного его видоизменив.
Пример 3. Пусть у автора только 3 друга (А, Б, В) и он пообедал 3 раза:
1) с А, Б, В;
2) с А, Б;
3) с Б, В.
Про эти обеды мы должны сказать так: со всеми я пообедал 1 раз, с друзьями А и Б я обедал 2 раза, с друзьями Б и В тоже 2 раза. (И наоборот -- по этому описанию мы можем однозначно восстановить сколько и каких было обедов.)
Внимание! когда мы говорим "обедал с А и Б" это не означает, что там больше никого не было. Даже в разговорной речи, чтобы собеседник понял, что кроме А и Б на обеде никого не было, нужно это оговаривать: например, говорить "только с А и Б". Поэтому и говорят: "обедал раз со всеми тремя, а кроме того ещё и с А и Б отдельно".


что-то проясняется )) спасибо )

получается, что

с каждой 4-кой было 3 обеда (для каждой 4ки):
1) 1 обед в общей 6ке
2) 1 обед в 5ке, которая внутри 6ки
3) 1 обед в 5ке, которая без шестого человека

с каждой 3-кой было 4 обеда (для каждой 4ки):
1) 1 обед в 5ке, которая внутри 6ки
2) 1 обед в 5ке, которая без шестого человека
3) 1 обед в 4ке, которая внутри 5ки, которая внутри 6ки
4) 1 обед в 4ке, которая внутри 5ки без шестого человека

с каждым 2-м было 5 обедов:
1) 1 обед в 5ке, которая внутри 6ки
2) 1 обед в 4ке, которая внутри 5ки, которая внутри 6ки
3) 1 обед в 4ке, которая внутри 5ки без шестого человека
4) 1 обед в 3ке, которая внутри 4ки из пункта 2
5) 1 обед в 3ке, которая внутри 4ки из пункта 3
это верно? )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group