Отделено от: Черная дыра и ряд вопросов

[SergeyGubanov]

мат-ламер в сообщении #983501 писал(а):

EngineEnergy в сообщении #982971 писал(а):

Если более прямо ставить вопрос, можно сформулировать так: "Как протекает процесс расширения Вселенной внутри черной дыры?"

А если поставить вопрос так: " Допустим верна гипотеза Большого разрыва. И в какой-то момент времени Вселенная будет расширяться со взрывной скоростью (разрывается). Разорвёт ли Большой разрыв чёрную дыру? " Вот только непонятно насчёт этого момента времени. Ведь нельзя во всей Вселенной ввести единое время. И вокруг чёрной дыры время замедляется (для удалённого наблюдателя). Вследствии Большого разрыва удалённые наблюдатели не будут видеть чёрную дыру. Но может существует такая траектория падения в чёрную дыру для которой разрыв пространства будет уравновешиваться процессом падения в чёрную дыру?

В 1945 году Эйнштейн и Штраус в совместной работе поставили задачу сшить решение Шварцшильда и решение Фридмана (Эйнштена - де Ситтера). У них тогда не получилось этого сделать.

Сейчас покажу как же это делается...

Берём решение Шварцшильда:

$$ ds^2 = \left( 1 - \frac{2 k M}{ c^2 r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2 k M}{ c^2 r}} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2, \eqno(1) $$

и решение Фридмана (Эйнштена - де Ситтера):

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( \frac{c \, t}{R} \right)^{4/3} \left(dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2\right). \eqno(2) $$

Надо получить решение которое при малых $r$ переходит в (1), а при больших $r$ переходит в (2). Сделать это "в лоб" не удаётся. Вобщем дело в том, что в (1) координата $t$ - скажем так "не та", а координата $r$ - "не та" как в (1) так и в (2). Надо чтоб и там и там все координаты "были те" .

Выполнив преобразования координат метрики (1) и (2) можно свести к следующему виду:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2. \eqno(3) $$

В метрике (3) белой или чёрной дыре соответствует:

$$ V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}}, \eqno(4) $$

а решению Фридмана (Эйнштена - де Ситтера) соответствует

$$ V = \frac{2 r}{3 t}. \eqno(5) $$

Теперь задача упростилась. Теперь надо отыскать решение $V(t, r)$ чтобы при малых $r$ было нечто похожее (4), а при больших - на (5).

Уравнение на функцию $V(t, r)$ выглядит так:

$$ \dot V + \frac{1}{2 r} \left(r V^2 \right)' = 0 \eqno(6) $$

Чему при этом равна плотность пыли не выписываю. Захотите сами посчитатете.

Функции (4) и (5) разумеется уравнению (6) удовлетворяют.

Вообще уравнение (6) имеет очень много решений. Если взять произвольную дифференцируемую функцию двух переменных $F(\alpha, \beta)$, то решение уравнения (6) можно записать в неявном виде:

$$ F\left( \sqrt{r} V(t,r), \, t - \frac{2 r}{3 V(t,r)} \right) = 0. \eqno(7) $$

Среди различных решений (7) есть и вот такое:

$$ V(t, r) = \frac{2 r}{3 t} \pm \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}}, \quad M(t) = \frac{Q}{t^2}. \eqno(8) $$

Вот оно то нам и было нужно. При больших $r$ оно переходит в (5), а при малых $r$ оно переходит в (4) с некоторой $M(t)$.

Гравитационный радиус $r_g(t)$ найденного объекта является функцией от времени $t$ и определяется из уравнения:

$$ V(t, r_g(t))^2 = c^2. \eqno(9) $$

Из этого же уравнения определяется и внешний - космологический горизонт. Формула для $r_g(t)$ получается громоздкая, поэтому их здесь не выписываю.

Подробнее можно посмотреть у Бурланкова в "Анализ общей теории относительности".

[Pphantom]

SergeyGubanov - замечание за оффтопик. Не стоит писать ответ на сообщение двухмесячной давности, особенно если он откровенно "притянут за уши".

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #1005842 писал(а):

Надо получить решение которое при малых $r$ переходит в (1), а при больших $r$ переходит в (2). Сделать это "в лоб" не удаётся.

Мало того, сама задача "надо получить решение..." бессмысленна. Потому что решение (1) получено при одних условиях задачи (правая часть нуль - уравнение Эйнштейна в вакууме), а решение (2) - при других условиях задачи (правая часть не нуль - уравнение Эйнштейна для вселенной, заполненной веществом).