Интересная последовательность.

[arvod]

Пусть S(A0) – сумма цифр натурального числа A0. Положим A1 = A0×S(A0), A2 = A1×S(A1) и так далее.
1. Найдите все такие A0, для которых найдется натуральное число k, что S(An) = 1 для всех натуральных n ³ k.
2. Найдите все такие A0, для которых найдется натуральное число k, что S(An) = S(An+1) для всех натуральных n ³ k.
3. Найдите все такие A0, для которых найдется натуральное число k, что последовательность S(An) периодическая для натуральных n ³ k.
4. Пусть дано некоторое множество натуральных чисел M. Найдите все такие A0, для которых найдется натуральное число k, что S(An) Î M для всех натуральных n ³ k. Исследуйте этот пункт для различных множеств M, например M = {1; 2}, M = {13; 16; 25} и т.д.
5. Предложите свои обобщения задачи.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.