Неравенство

[arvod]

Пусть a_1, a_2,…,a_n— неотрицательные числа.
1.1) Доказать, что для любых действительных x_1, x_2, …, x_n выполнено неравенство
а) (x_1^2)/2^(2a_1 ) +2 (x_1 x_2)/2^(a_1+a_2 ) +(x_2^2)/2^(2a_2 ) ≥0.
б) ∑_(i,j=1)^n▒〖2^(-(a_i+a_j)) x_i x_j 〗≥0.
1.2) Исследуйте истинность неравенства ∑_(i,j=1)^n▒〖2^(-(a_i+a_j )^2 ) x_i x_j 〗≥0
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
1.3) Исследуйте неравенство ∑_(i,j=1)^n▒〖2^(-(a_i+a_j )^α ) x_i x_j 〗≥0 (α>0).
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
2.1) Докажите, что ∑_(i,j=1)^n▒(x_i x_j)/(i+j-1)≥0.
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
2.2. Докажите, что (x_1^2)/(2a_1 )+(2x_1 x_2)/(a_1+a_2 )+(x_2^2)/(2a_2 )≥0.
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
2.3. Исследуйте неравенство ∑_(i,j=1)^n▒(x_i x_j)/(a_i+a_j )≥0.
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
2.4) Исследуйте неравенство ∑_(i,j=1)^n▒(x_i x_j)/(〖〖(a〗_i+a_j)〗^2 )≥0.
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
2.5). Исследуйте неравенство ∑_(i,j=1)^n▒(x_i x_j)/(〖〖(a〗_i+a_j)〗^α )≥0 (α>0).
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
3.1) Исследуйте неравенство ∑_(i,j=1)^n▒〖x_i x_j cos⁡〖(a_i+a_j )≥0〗 〗.
а) при n=2;
б) при n=3;
в) при произвольном n.
3.2) Исследуйте неравенство ∑_(i,j=1)^n▒〖x_i x_j cos^2⁡〖(a_i+a_j )≥0〗 〗.
а) при n=2;
б) при n=3;
в) При произвольном n.
4. Для каких функций f(x) будет верно неравенство ∑_(i,j=1)^n▒〖x_i x_j f⁡〖(a_i+a_j )≥0〗 〗 для любого n и для любых действительных x_1, x_2, …, x_n?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.