Перевести одну плоскость в другую одним поворотом

[svv]

Возьмем на $P_1$ ортонормированную пару векторов $a, b$, а на $P_2$ ортонормированную пару векторов $p_0, q_0$. Последнюю пару можно повернуть в $P_2$
$p=\;\;\;p_0\cos\varphi+q_0\sin\varphi$
$q=-p_0\sin\varphi+q_0\cos\varphi$
так, чтобы выполнилось условие $b\cdot p=a\cdot q$.

Т.к. плоскости $P_1, P_2$ пересекаются только в нуле, векторы $a, b, p, q$ образуют базис (не обязательно ортогональный). Определим линейный оператор $R$ его действием на базисные векторы:
$\begin{array}{l}R a=p\\R b=q\\R p=a\\R q=b\end{array}$

Можно проверить, что $R$ сохраняет скалярные произведения базисных векторов, а значит, он ортогональный. У него есть (помимо прочих) два собственных вектора, $a+p$ и $b+q$, соответствующие собственному значению $1$. Теперь можно выбрать уже ортонормированный базис $(e_1,e_2,e_3,e_4)$, так, чтобы $e_3, e_4$ лежали в линейной оболочке $a+p$ и $b+q$, а $e_1, e_2$ в его ортогональном дополнении (т.е. линейной оболочке $a-p$ и $b-q$). В этом базисе $R$ будет иметь нужный вид. (Определитель матрицы оператора $R$ в любом базисе единичный.)

[GDTD]

svv
Отличное решение. Здесь даже получается, что достаточно поворота на угол $\pi$)