Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром

[raizak]

Доброго времени суток. Дано параметрическое неравенство (чуть посложнее, чем обычно попадается на едином гос. экзамене)

$$3x^5 + 11x+4\left|x-a+3\right|+2\left|3x+a-5\right|+\sqrt[3]{4x+5}\le 25.$$

Нужно найти все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство выполняется для всех значений на интервале $[-4; -1]$.

В общем, выражение в левой части неравенства является монотонно возрастающей функцией. Чтобы неравенство было верно на каком-либо отрезке достаточно того, чтобы оно было верно в правом конце отрезка. В данном случае при $x=-1$. Если это действительно так, что у меня вызывает толику сомнения, то не могли бы вы объяснить, почему именно так?

Lia: Название темы исправлено на соответствующее теме.

[provincialka]

raizak в сообщении #1000418 писал(а):

выражение в левой части неравенства является монотонно возрастающей функцией.

Не проверяла, но, надеюсь, вы это доказали. Тогда рассуждение верно.

[raizak]

provincialka в сообщении #1000422 писал(а):

Не проверяла, но, надеюсь, вы это доказали.

Да, безусловно. Я так понимаю, что именно ввиду возрастающей монотонности рассуждение верно? Да и мне одного "верно" мало . Почему же так?

[mihailm]

provincialka, вопрос не об этом был.
Надо оценить производную левой части: У первых двух слагаемых больше 11 (совсем грубо), у вторых двух меньше 10, у третьего больше нуля

[ewert]

Производные не нужны: достаточно того, что $11x$ забьёт сумму модулей даже в самом неблагоприятном варианте их раскрытия.

[raizak]

ewert в сообщении #1000449 писал(а):

Производные не нужны: достаточно того, что $11x$ забьёт сумму модулей даже в самом неблагоприятном варианте их раскрытия.

Немного не понимаю Вашего математического жаргона. В смысле забьет?

[nnosipov]

raizak в сообщении #1000458 писал(а):

В смысле забьет?

В смысле победит: $11>4+2 \cdot 3$.

[mihailm]

Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть. А так конечно можно без дифференцирования (заметим, кстати, что я при подсчетах ничего не дифференцировал).

[Brukvalub]

raizak в сообщении #1000458 писал(а):

ewert в сообщении #1000449 писал(а):

Производные не нужны: достаточно того, что $11x$ забьёт сумму модулей даже в самом неблагоприятном варианте их раскрытия.

Немного не понимаю Вашего математического жаргона. В смысле забьет?

Имеется в виду , что при любом варианте раскрытия модулей выражение

$$11x+4\left|x-a+3\right|+2\left|3x+a-5\right|$$

превращается в возрастающую линейную функцию.

-- Вс апр 05, 2015 13:23:06 --

mihailm в сообщении #1000464 писал(а):

Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть. А так конечно можно без дифференцирования (заметим, кстати, что я при подсчетах ничего не дифференцировал).

Беда в том, что модуль иногда не имеет производной.

[ewert]

mihailm в сообщении #1000464 писал(а):

Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть.

Дело в том, что производные в такого рода задачах ни разу не предполагаются. А конкретно тут они ещё и вредны, т.к. пудрят мозги своим видом.

-- Вс апр 05, 2015 14:25:00 --

Brukvalub в сообщении #1000466 писал(а):

Беда в том, что модуль иногда не имеет производной.

Это-то не беда; а беда в том, что доказательство становится излишне многословным.

[raizak]

Резюмируя, как рациональнее всего надо было подходить к решению данного неравенства? Верно ли, что надо было начинать рассуждение с рассмотрения поведения функции? Как? Я представлял данное выражение в виде двух функций $f(x) + g(x,a) \le 0$. Также, прошу не забывать про данный в задаче интервал $[-1;4]$, ввиду которого можно заключить, что $f(x)$ -- всегда $<0$. Далее диффиринцировать функцию f(x), непонятно мне зачем. Пока это все, что я понял из нынешней темы.

[ewert]

raizak в сообщении #1000476 писал(а):

Резюмируя, как рациональнее всего надо было подходить к решению данного неравенства?

Ровно так, как Вы с самого начала и пытались: угадать, что функция монотонно возрастает в любом случае (тут уж как повезёт) и формально доказать, что это действительно так (а это уже легко, раз уж угадали).

[raizak]

ewert, нет, я не угадывал. Я доказывал монотонность только функции f(x). Дальше левее абсциссы $-5/4$ функция не существует, а далее она строго возрастает (ибо все ее производные положительны, если Вы на этом намекали). Вопрос: что делать с функцией g(x,a)?

[mihailm]

Brukvalub в сообщении #1000466 писал(а):

...Беда в том, что модуль иногда не имеет производной.

Не беда, это не было полным решением.

-- Вс апр 05, 2015 13:54:44 --

ewert в сообщении #1000468 писал(а):

mihailm в сообщении #1000464 писал(а):

Производная (скорость роста) это самое короткое слово, объясняющее суть.

Дело в том, что производные в такого рода задачах ни разу не предполагаются. А конкретно тут они ещё и вредны, т.к. пудрят мозги своим видом...

ewert, я привел свой подход, вы свой. Ничего они не пудрят, сейчас не 80-й год.

[ewert]

raizak в сообщении #1000482 писал(а):

Дальше левее абсциссы $-5/4$ функция не существует,

Напрасно Вы так считаете.

raizak в сообщении #1000482 писал(а):

Вопрос: что делать с функцией g(x,a)?

Доказывать, что она также монотонна при любом значении параметра.