Небольшой вопрос относительно неравенства с параметром

[mihailm]

raizak в сообщении #1000482 писал(а):

ewert, нет, я не угадывал. Я доказывал монотонность только функции f(x). Дальше левее абсциссы $-5/4$ функция не существует, а далее она строго возрастает (ибо все ее производные положительны, если Вы на этом намекали). Вопрос: что делать с функцией g(x,a)?

raizak, модуль умеете раскрывать? Да, кстати, там корень кубический (но это не важно)

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #1000483 писал(а):

Ничего они не пудрят, сейчас не 80-й год.

А год тут не при чём. Ну валяйте, доказывайте монотонность функции $f(x)=x$ с помощью производных. Действительно: достаточно ведь просто заметить, что производная равна единице, а единица больше нуля!

[mihailm]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1000487 писал(а):

...Ну валяйте, доказывайте монотонность функции $f(x)=x$ с помощью производных. Действительно: достаточно ведь просто заметить, что производная равна единице, а единица больше нуля!

Это че?

[raizak]

ewert в сообщении #1000484 писал(а):

Доказывать, что она также монотонна при любом значении параметра.

Это можно сделать просто подставляя разные значения параметра. Дальше -- техника. Сделано. Полностью убедились, что функция монотонно-возрастающая. Теперь же я возвращаюсь к моему начальному вопросу:

Цитата:

Чтобы неравенство было верно на каком-либо отрезке достаточно того, чтобы оно было верно в правом конце отрезка. В данном случае при $x=-1$. Если это действительно так, что у меня вызывает толику сомнения, то не могли бы вы объяснить, почему именно так?

[ewert]

raizak в сообщении #1000489 писал(а):

Это можно сделать просто подставляя разные значения параметра.

Этого нельзя не то что сделать, но даже и делать нельзя.

raizak в сообщении #1000489 писал(а):

не могли бы вы объяснить, почему именно так?

Нет, не могу. Просто нарисуйте условную картинку -- и сами увидите. Если же вопрос был о том, что следует писать в этом месте в официальном решении, то ответ: ничего. Подразумевается, что это очевидно.

[raizak]

ewert в сообщении #1000495 писал(а):

Этого нельзя не то что сделать, но даже и делать нельзя.

Как же тогда? Неужели дифференцировать?

ewert в сообщении #1000495 писал(а):

Нет, не могу. Просто нарисуйте условную картинку -- и сами увидите. Если же вопрос был о том, что следует писать в этом месте в официальном решении, то ответ: ничего. Подразумевается, что это очевидно.

Прекрасно все вижу, это действительно так. Но я все же думал, что это отнюдь не очевидно, что, например, для какой-либо монотонной функции f(x) на интервале [a;b] достаточно подставить значение $b$. Или это справедливо только для монотонных функций? Неужели даже теоремы никакой, даже следствия не найдется?

[provincialka]

Да зачем вам теорема? Ну, если уж надо, давайте так. Требуется, чтобы неравенство $f(x) \leqslant b$ выполнялось на отрезке $[-4;-1]$. В частности, должно выполняться $f(-1)\leqslant b$.

В силу монотонности $f$ для всех $x\leqslant -1$ выполняется $f(x) \leqslant f(-1) \leqslant b$. То есть условие $f(-1)\leqslant b$ является и достаточным для выполнения $f(x) \leqslant b$ на отрезке $[-4;-1]$.

Если монотонности нет, то неравенство на отрезке сводится к такому: $\max(f(x)) \leqslant b$ где максимум берется на отрезке $[-4;-1]$.

[ewert]

raizak в сообщении #1000496 писал(а):

Как же тогда? Неужели дифференцировать?

Нет, разумеется:

Brukvalub в сообщении #1000466 писал(а):

Имеется в виду , что при любом варианте раскрытия модулей выражение

$$11x+4\left|x-a+3\right|+2\left|3x+a-5\right|$$

превращается в возрастающую линейную функцию.

raizak в сообщении #1000496 писал(а):

Или это справедливо только для монотонных функций?

Да, только. Если не накладывать дополнительно каких-нибудь специфических ограничений.

raizak в сообщении #1000496 писал(а):

Неужели даже теоремы никакой, даже следствия не найдется?

Сильно вряд ли. Ибо вот формальное доказательство: если в точке $b$ (т.е. хотя бы в одной из точек $[a;b]$) неравенство нарушается, то $[a;b]$ не содержится целиком в решении; если в точке $b$ это неравенство выполняется, то в силу монотонности оно тем более выполняется и в остальных точках $[a;b]$. И что, неужели ради этой банальщины надо заводить специальную теорему, или повторять эти заклинания при решении каждой очередной задачи?... Они просто подразумеваются.

[raizak]

provincialka,ewert, в принципе, да, убедили. Это я что-то того...

Итак, снова резюмирую, $3x^5$ -- возрастающая функция; кубический корень из $4x+5$ -- возрастающая функция;
остальная часть выражения -- кусочно-линейная функция, при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ положителен, значит эта функция тоже возрастающая. Сумма возрастающих функций -- возрастающая функция. Дальше мои рассуждения относительно $x=-1$. И только в этом случае я могу справедливо дать ответ $a \in [-7/3;31/3]$.

[ewert]

Да, ровно так, с одним уточнением: формально для обоснования монотонности кусочно-линейной функции недостаточно только её монотонности на отдельных кусках, нужно ещё сослаться на её непрерывность. Правда, не знаю, употребительны ли в школе слова "непрерывная функция", или это допзаклинание тоже подразумевается.

[mihailm]

raizak в сообщении #1000512 писал(а):

...остальная часть выражения -- кусочно-линейная функция, при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ положителен...

Вот здесь будут сняты баллы, с формулировкой "где раскрытия? все раскрытия"

[raizak]

mihailm в сообщении #1000528 писал(а):

Вот здесь будут сняты баллы, с формулировкой "где раскрытия? все раскрытия"

Безусловно во время самого экзамена я все распишу досконально, не забуду про каждый минус и плюс. Это сейчас я позволяю себе некоторые фривольности.