2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одинаковые произведения цифр
Сообщение27.03.2015, 14:32 
Аватара пользователя


01/12/11
6095
Нацерет-Иллит
Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, имеющих одинаковые произведения цифр.

Я думаю, что любое натуральное $n\geqslant 110$ представить требуемым образом можно, поскольку среди чисел $$n-100,\quad n-101,\quad \dots ,\quad n-109$$
найдётся натуральное число, оканчивающееся на нуль, следовательно имеющее нулевое произведение цифр.

Любое чётное натуральное число, очевидно, также представимо нужным нам образом, так как представимо в виде суммы двух равных друг другу натуральных чисел.

Осталось решить вопрос с нечётными натуральными числами, меньшими 110.
Неужели только перебором? Долго ведь и нудно.

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Одинаковые произведения цифр
Сообщение27.03.2015, 15:31 


26/08/11
1677
В виде суммы однозначаного и двузначного $A=a+\overline{bc},\;a=bc$

$A=bc+10b+c,\quad A+10=(c+10)(b+1)$

В виде суммы двух двузначных $A=\overline{ab}+\overline{cd},\;ab=cd$

$a=pq,b=rs,c=ps,d=qr$

$A=10pq+rs+10ps+qr$

$A=(10p+r)(q+s)$

Получается, если $A$ или $A+10$ имеет собственный делитель, больше 10. Для нечетного, конечно.

-- 27.03.2015, 14:34 --

Ввиду ограничений, в первом случае если $A+10$ имеет делитель от 11 до 19.

-- 27.03.2015, 14:40 --

И во втором случае ограничения - $pq,rs,ps,qr<10$... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Одинаковые произведения цифр
Сообщение27.03.2015, 15:54 
Аватара пользователя


01/12/11
6095
Нацерет-Иллит
Shadow,
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Одинаковые произведения цифр
Сообщение27.03.2015, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4919
Shadow в сообщении #996451 писал(а):
Ввиду ограничений, в первом случае если $A+10$ имеет делитель от 11 до 19.

Нужно ещё ограничений. Потому как, например, ни $A=41,$ ни $A=81$ не представляются в виде нужной суммы, хотя $A+10$ имеют подходящие делители.

-- 27.03.2015, 18:13 --

А, ну да, аналогично ограничениям на цифры второго случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одинаковые произведения цифр
Сообщение27.03.2015, 17:22 


26/08/11
1677
Да, для первого случая лучше выписать всех $b$-четное, $c$-нечетное, $bc<10$ совсем просто.
Для второго случая, наверное, тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group