Комплексные числа

[watmann]

svv писал(а):

Какие получатся аргументы у значений $z^{\frac n m}$ ?

Ну, получается:
$z=re^{i\varphi}$
$ z^{n}=r^{n}e^{in\varphi} $
$ z^{n/m}=r^{(n/m)}e^{(in\varphi+2 \pi k)/m}$
k=0
$argz_{0}=(i n \varphi)/m$
k=1
$argz_{1}=(in\varphi+2 \pi )/m$
k=2
$argz_{2}=(in\varphi+4 \pi )/m$
....
k=m
$argz_{m}=((in\varphi)/m)+2 \pi k=(in\varphi)/m$
Значение при k=m и k=0 совпадают. Значит m значений

[svv]

watmann в сообщении #993310 писал(а):

$ z^{n/m}=r^{(n/m)}e^{(in\varphi+2 \pi k)/m}$

Здесь $i$ в показателе должно относиться и к второму слагаемому тоже. Согласны? Можно его написать перед скобкой.

А в аргумент $i$ не входит, он всегда вещественный.

И почему $e^{2\pi i k/m}$ не возвелось в степень $n$?

[arseniiv]

watmann в сообщении #993310 писал(а):

Значение при k=m и k=0 совпадают. Значит m значений

Значит, не более $m$ значений. То, что их не менее — это надо доказать отдельно. Но это просто; не ищите что-то сложное и непонятное — просто посмотрите снова на дроби $\dfrac23$ и $\dfrac46$. Чем они отличаются?

(Подсказка.)

Ещё посмотрите на дроби $\dfrac8{14},\dfrac47,\dfrac{12}{21}$. Чем одна из них (и какая) отличается от остальных? Имеются в виду именно записи, а не соответствующие числа, т. к. тогда все они одинаковы.

[watmann]

svv писал(а):

Здесь $i$ в показателе должно относиться и к второму слагаемому тоже. Согласны? Можно его написать перед скобкой.

Да, это я уже что-то совсем ночью не соображаю) В аргумент i вообще не входит (

svv писал(а):

И почему $e^{2\pi i k/m}$ не возвелось в степень $n$?

предполагаю, что при возведении в степень $2 \pi k$ нет смысла учитывать, ибо $\phi=\phi+2 \pi =\phi +4\pi$ и т.д. В общем говоря в формуле Муавра это и не учитывается.

-- 21.03.2015, 02:42 --

arseniiv писал(а):

Чем одна из них (и какая) отличается от остальных?

$12/21$? Симметричность, если вы говорите о записи.
Но я не очень понимаю, как через это доказать, то что будет минимум m значений :с

[arseniiv]

watmann в сообщении #993325 писал(а):

$12/21$? Симметричность, если вы говорите о записи.

Не-не-не, это не та, и десятичная запись тут ни при чём, случайно вышло.

[Munin]

watmann
Совсем прямой намёк. В чём разница между дробью и числом, которое она выражает?