2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма ряда
Сообщение15.03.2015, 17:27 


15/03/15
1
Известна сумм ряда: $\sum\limits_{k=n}^{\infty}kC_{k-1}^{n-1}(1-p)^{k-n}p^n=\frac{n}{p},\  p\in(0,1)$. Можно ли найти чему равна следующая сумма $\sum\limits_{k=n}^{\infty}\ln kC_{k-1}^{n-1}(1-p)^{k-n}p^n,\  p\in(0,1)$ ?
т.е. нужно найти мат. ожидание $M\ln\xi$, где $\xi$ имеет отрицательное биномиальное распределение.

Понятно, что т.к. $\sum\limits_{k=n}^{\infty}C_{k-1}^{n-1}(1-p)^{k-n}p^n=1$, то $\sum\limits_{k=n}^{\infty}\ln kC_{k-1}^{n-1}(1-p)^{k-n}p^n\leqslant \ln(\frac{n}{p})$.
Если нельзя найти чему равняется ряд явно, то как получить более точное неравенство? т.е. понять можно ли поставить знак равенства.
Заранее, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение16.03.2015, 00:48 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Хочу предложить упрощение, хоть оно Вам вряд ли поможет. Обозначим $q=1-p$.
Пусть Вам известна сумма ряда
$\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k q^k=s(q)$
Продифференцируем обе части $n$ раз по $q$:
$\frac{d^n}{dq^n} \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k q^k=\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k \frac{k!}{(k-n)!}q^{k-n}=(n-1)!\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k kC^{n-1}_{k-1}q^{k-n}=\frac{d^ns(q)}{dq^n}$
Отсюда
$\sum\limits_{k=n}^{\infty}a_k kC^{n-1}_{k-1}q^{k-n}p^n=\frac{np^n}{n!}\frac{d^ns(q)}{dq^n}$

Проверим метод на Вашем первом ряде. Положим $a_k=1$, тогда $s(q)=\frac{1}{1-q}$. И получаем сумму
$\frac{np^n}{n!}\frac{d^n}{dq^n}\frac 1{1-q}=\frac{np^n}{n!}\frac{n!}{(1-q)^{n+1}}=\frac{n}{p}$,
как Вы и написали.

Значит, Вы нашли бы $\sum\limits_{k=n}^{\infty}\ln k C_{k-1}^{n-1}(1-p)^{k-n}p^n$, если бы знали $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\ln k \; q^k$, а это вроде попроще. (Буквально по методу — если бы знали $\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{-1}\ln k\;q^k$, но это не принципиально.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение16.03.2015, 07:16 
Заслуженный участник


22/11/10
1140
Вот похожая тема
Может чем-нибудь поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение16.03.2015, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Логарифмы вылезают при почленном дифференцировании рядов Дирихле. Но тогда в слагаемые нужно вводить множитель $k^x $, а вместе с $q^k $ это вряд ли поддастся распутыванию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение16.03.2015, 11:42 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
Если в сумме заменить все $\ln k$ на $\ln n$, то получим, что сумма ряда $>\ln n $.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group