2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 16:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Это как? Во-первых, Вы не знаете, где максимум, во-вторых, он ведь смещается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 16:40 
Аватара пользователя


27/07/14
39
Otta
Ну, например, если мне удастся доказать, что максимум всегда лежит в интервале $[x_1, x_2]$ (для любого $F_i(x)$). Ну и после этого доказать равномерную сходимость на интервале $[x_1, x_2]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 16:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Не, ну это бога ради. Но ведь это то же самое. В утверждении, которое тут проверялось, какой именно отрезок, никак не использовалось. И даже никак не использовалось, что это отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 16:55 
Аватара пользователя


27/07/14
39
А вот следующий ход рассуждения верен?

$F_n(x)  = nx\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}x^i(1-x)^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{x(n+1)}\right)$ ($x\in [0,1]$)

Обозначим $\tau = nx$, $x = \tau/n$. При достаточно большом $n$:
$F_n(\tau)  = \tau\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\left(\frac{\tau}{n}\right)^i(1-\frac{\tau}{n})^{n-i}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.

Если доказать, что максимум этой функции по не убывает с ростом $n$, то можно сразу перейти к пределу $n \rightarrow \infty$ и искать максимум по $\tau$ уже после предельного перехода?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 21:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Для каждой функции, конечно, можно. И максимум после замены будет совпадать с максимумом до, это естественно. Если, конечно, по правильному множеству его искать.

Но проблем несколько. Во-первых, каждая из функций $\tilde F_n(\tau)$ имеет свою область определения $\tau\in[0,n]$. И как определять сходимость такого сорта последовательности, непонятно. При фиксированном $\tau$, поточечно, ничего не даст, поскольку $\tau$ зависит от $n$. Например, максимум может достигаться для каждой из функций в точке, уползающей вправо, скажем, $n/2$. Пусть даже мы его посчитали, как Вы будете определять ту предельную функцию, которую хотите определять, $\tilde F(\tau)$? Еще раз: как поточечный предел - нет смысла. Он таким не является по сути.

К тому же, это все не снимает вопросов сходимости.
Я долго очень не думала, поэтому, может, пример сейчас приведу не очень удачный, не обозначивающий все проблемы, но кое-какие, может, получится.

Пусть $F_n(x)=nx(1-nx), x\in[0,1],\; \tilde F_n(\tau)=\tau(1-\tau),\tau\in[0,n]$.
Заметим, что вторая последовательность (якобы) стационарна, максимум по $\tau$ на каждом из отрезков для каждой функции равен $1/4$, предел максимумов, стало быть, тоже. Видимо, хочется, чтобы предельная функция имела тот же максимум. И в такой записи может показаться, что деваться ей некуда.

Возвращаемся, однако, к реальности. А реальность такова, что последовательность $F_n(x)$ сходится ровно в одной точке - в нуле. И хотя максимальное значение каждого элемента последовательности на отрезке $[0,1]$, разумеется, то же, $1/4$, желаемого результата не выйдет.

А ведь мы пока и поточечную сходимость не проверяли.

В общем, не видно, что Ваш трюк может дать. Скорее всего, ничего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
В знаменателе логарифма все можно убрать -- там бином суммируется. То, что останется -- матожидание логарифма биномиально распределенной величины. Я в теории вероятностей не силен, может там есть какие-то предельные теоремы, которые "бесплатно" дадут асимптотику?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение28.07.2014, 22:11 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
:) Да у меня исходно опасение, что задача как раз из теории вероятностей и вывалилась. ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Ну вот кажется можно записать исходные функции как
$$
F_n(x)=x\rm E\ln\left[\frac{S_n}{x(n+1)}\right]^n,
$$
где $S_n=\xi_1+\xi_2+\dots+\xi_n$ сумма независимых величин Бернулли с параметром $x$, преобразуем
$$
F_n(x)=x\ln\left(1+\frac1n\right)^n+x\rm E\ln\left[\frac{S_n}{nx}\right]^n.
$$
Дальше нелишне вспомнить, что скорость сходимости в Усиленном законе больших чисел экспоненциальная, и, значит, штука под знаком матем. ожидания должна навскидку стремится почти наверное к нулю. Тогда, если обосновать предельный переход под знаком м.о., получится
$$
F_n(x)\to x,\quad n\to\infty.
$$
Ну и тогда $b=1$.
А если начать с максимума.. пока не смотрел
можно ли это вообще посчитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 08:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Henrylee в сообщении #891168 писал(а):
$$F_n(x)=x\rm E\ln\left[\frac{S_n}{x(n+1)}\right]^n,$$

А не $$F_n(x)=x\rm E\ln\left[\frac{S_n+1}{x(n+1)}\right]^n,$$
нет?
Henrylee в сообщении #891168 писал(а):
Тогда, если обосновать предельный переход под знаком м.о., получится
$$F_n(x)\to x,\quad n\to\infty.$$

Поточечно - вряд ли. При $x=1$ (а именно там намечается столь желанный максимум предельной функции, если все так, как написано), значение каждого элемента последовательности $F_n(1)$ нулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 09:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Все возможно. Я только приблизительно писал. Идею. Детали потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 10:05 
Аватара пользователя


27/07/14
39
ex-math
Otta
Henrylee
Да, действительно, задача появилась из необходимости асимптотического анализа одной технической системы со случайными параметрами. Я пробовал использовать предельные теоремы. В частности, сходимость вероятностей Биномиального распределения к вероятностям распределения Пуассона:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\tilde{F}_n(\tau)  = \tau\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}e^{-\tau}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.

А эта функция является известной и в литературе можно найти факт того, что ее максимум достигается при $\tau \approx 1.34$. Т.е. при параметре $x \rightarrow 0$. Значение $b$ при этом равно $\approx 0.58$.

-- 29.07.2014, 10:16 --

Тот ход, который предлагает Henrylee я пробовал, но там, действительно
$F_n(x)=x\ln\left(1+\frac1n\right)^n+x\rm E\ln\left[\frac{S_n}{nx} + \frac{1}{nx}\right]^n$
Т.е. второе слагаемое в сумме не стремится к нулю. :( А к чему стремится - непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 12:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Kenelm
Ну вот давайте немного затормозим. По первой части.
Kenelm в сообщении #891221 писал(а):
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\tilde{F}_n(\tau)  = \tau\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\tau^i}{i!}e^{-\tau}\ln\left(\frac{i+1}{\tau}\right)$.

Давайте попробуем написать, что это даст и даст ли что-то.
$\lim\limits_{n\to\infty}\tilde F_n(\tau)=\lim\limits_{n\to\infty}\tilde F_n(nx)=? $
Чему-то равно, но никак не $\tilde F(\tau)=F(nx)$, которая сама зависит от $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Если позволите, я тут параллельно с Вами поразмышляю.
Otta в сообщении #891201 писал(а):
А не $$F_n(x)=x\rm E\ln\left[\frac{S_n+1}{x(n+1)}\right]^n,$$
нет?

Да, упущенная мной единичка существенна. Если прикинуть снова
$$
F_n(x)=x{\rm E}\ln\left[\frac{S_n}{nx}\cdot\frac{n}{n+1}+\frac1{x(n+1)}\right]^n
$$
и как-то воспользоваться быстрой сходимостью $S_n/nx\to1$, то дальше
$$
x\ln\left[\frac{n}{n+1}+\frac1{x(n+1)}\right]^n=x\ln\left[1+\frac{1-x}{x}\cdot\frac1{n+1}\right]^n\to 1-x
$$

-- Вт июл 29, 2014 15:24:50 --

не факт, что правомерно, надо думать. И аккуратно обосновывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение29.07.2014, 20:28 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Мне кажется, что будет полезным одно интегральное представление.
Положим
$S_n(x) = \sum \limits_{k=0}^nC_n^k x^k(1-x)^{n-k}\ln (k+1)$
Тогда
$F_n(x) = nx(S_n(x) - \ln ((n+1)x))$
Используя равенство (интеграл Фруллани)
$\ln (k+1) = \int \limits_0^{\infty}\frac {e^{-s}}{s}(1-e^{-ks})ds$
легко получаем
$S_n(x) = \int \limits_0^{\infty}\frac {e^{-s}}{s}(1-(1-x+xe^{-s})^{n})ds$
Можно это выражение еще немного упростить. Замена $1 - z = e^{-s}$
$S_n(x) = -\int \limits_0^1 \frac {1 - (1-xz)^n}{\ln (1-z)}dz$
И далее (опять заменяя логарифм интегралом)
$F_n(x) = -nx\int \limits_0^1 \frac {(1-z)^{(n+1)x-1} - (1-xz)^n}{\ln (1-z)}dz$
Теперь вроде бы можно по Тейлору приближать логарифм. Как-то так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел от максимума vs. Максимум от предела
Сообщение30.07.2014, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
sup
Так по Тейлору можно и сразу. Из знаменателя логарифма убрать икс и $\frac{i+1}{n+1}=1+\frac{i-n}{n+1}$. Все суммы там в принципе вычисляемы дифференцированием, только очень громоздко.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group