Помогите взять интеграл

[Doctor_lav]

Спасибо, наставили на пусть истинный, мой интеграл равен $\pi/2$

Цитата:

3. При каких а сходится интеграл

При а<1

[Brukvalub]

Doctor_lav писал(а):

При а<1

Правильно. Рад, что получилось помочь.

[Doctor_lav]

Обращаюсь к вам еще раз с вопросом... опять голова мыслей не подает.

$$\int_{0}^{1} \frac {sin(\frac {1}{x})} {x^2 + \sqrt [2] {x^3} + x^2 * cos(\frac {1}{x})}dx$$

Исследовать на абсолютную и условую сходимость... Посоветуйте пожалуйста что нибудь

[Brukvalub]

Для начала - замена

$$\frac{1}{x} = t$$

[Doctor_lav]

Ох да... точно, тут тогда сразу все уходит)), спасибо огромное)

Добавлено спустя 27 минут 26 секунд:

Только ноль все равно критическая точка и в этой точке функцию нужно с чем сравнить, только с чем?
Притом все это дело знакопеременное...

Добавлено спустя 22 минуты 13 секунд:

или это сравнивается с $\frac{1}{t^a}$ ?

Добавлено спустя 30 секунд:

как достану - говорите)

[Андрей123]

После замены изменятся пределы интегрирования и ''точкой'' исследования будет бесконечность. При проверке на абсолютную сходимость попробуйте сравнить подинтегральную функцию с $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$, а при проверке на условную можно попробовать воспользоваться признаком Абеля-Дирихле.

[Doctor_lav]

угу. спасбо..)

[Doctor_lav]

А еще примерчик мона?) Задаие: исследвать на непрерывность несобственный интеграл от параметра.

$$\int_{0}^{\infty} sin(\alpha *x^2)dx$$

Добавлено спустя 4 минуты 31 секунду:

альфа от 1 до бесконечности

[Brukvalub]

Разбейте единицей область интегрирования на две части, в бесконечной части замените

$$x^2 = t$$

и вспомните достаточные условия непрерывности собственного и несобственного интегралов с параметром по параметру.

[Doctor_lav]

не понимаю.. что нам даст подстановка...

[Brukvalub]

Doctor_lav писал(а):

не понимаю.. что нам даст подстановка...

Она упростит исследование равномерной сходимости несобственного интеграла. А Вы знаете

Brukvalub писал(а):

достаточные условия непрерывности собственного и несобственного интегралов с параметром по параметру.

?

[Doctor_lav]

если подинтегральная функция $f(x,\lambda)$ ,($\lambda$ параметр) непрерывна при $a\leqslant x \leqslant b$ и параметр непрерывен $\alpha \leqslant \lambda \leqslant \beta$ то интеграл $\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$ непрерывен в инетервале от альфа и до бета

Добавлено спустя 31 секунду:

Это то, если я не ошибаюсь?

[Brukvalub]

Doctor_lav писал(а):

Это то, если я не ошибаюсь?

Это несколько "криво" сформулированное условие непрерывности собственного интеграла с параметром. А где же условие непрерывности несобственного интеграла с параметром?

[Doctor_lav]

Странно.. скажите в чем "кривоватость" , чтобы на дальнейшее знать...

Для не собественного:
Если функция $f(x,\lambda)$ непрерывна при $x\geqslant a $ и $\lambda \in [ \alpha , \beta]$ и интеграл $\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$ сходиться правильно то $F(\lambda)=\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$ является непрерывной от параметра \lambda

Добавлено спустя 1 час 26 минут 51 секунду:

Мне не понятно как упращает подстановка... пробую - вообще помоему ерундна получается...((

[Brukvalub]

Doctor_lav писал(а):

если подинтегральная функция $f(x,\lambda)$ ,($\lambda$ параметр) непрерывна при $a\leqslant x \leqslant b$ и параметр непрерывен $\alpha \leqslant \lambda \leqslant \beta$ то интеграл $\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$ непрерывен в инетервале от альфа и до бета

Правильно будет так: Если функция двух переменных $f(x,\lambda)$ непрерывна на прямоугольнике $a\leqslant x \leqslant b$ и $\alpha \leqslant \lambda \leqslant \beta$ , то интеграл $\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$ непрерывен на отрезке от альфа и до бета .

Doctor_lav писал(а):

Для не собественного:
Если функция $f(x,\lambda)$ непрерывна при $x\geqslant a $ и $\lambda \in [ \alpha , \beta]$ и интеграл $\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$сходиться правильно то $F(\lambda)=\int_{a}^{b} f(x,\lambda) dx$ является непрерывной от параметра\lambda

- опять "кривая" формулировка. Правильная:
Если функция $f(x,\lambda)$ непрерывна при $x\geqslant a $ и $\lambda \in [ \alpha , \beta]$ и несобственный интеграл

$$ \int\limits_a^{ + \infty } {f(x\;,\;\lambda )dx} $$

сходится равномерно по параметру, то он является непрерывной функцией параметра. Итак,

$$\int_{0}^{\infty} sin(\alpha *x^2)dx$$

$$ \alpha \geqslant 1\;\quad \int\limits_0^{ + \infty } {\sin (\alpha x^2 )dx} = \int\limits_0^1 {\sin (\alpha x^2 )dx + \int\limits_1^{ + \infty } {\sin (\alpha x^2 )dx} } $$

. Первый интеграл непрерывен по первой теореме. Делаем во втором замену:

$$ \int\limits_1^{ + \infty } {\sin (\alpha x^2 )dx} = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{\sin (\alpha t)}}{{2\sqrt t }}dt} $$

. Ну, а теперь проверяем признак Дирихле равномерной сходимости последнего несобственного интеграла, что заканчивает д-во непрерывности интеграла с параметром.