Можно ли провести трубку тока как угодно?

[Munin]

Есть односвязное пространство, скажем, $\mathbb{R}^3.$ И оно заполнено каким-то полем скоростей (жидкости), это гладкое векторное поле $\vec{v}(\vec{x}).$

Есть понятие линии тока: это такая линия, к которой $\vec{v}$ касательны в каждой точке. Можно говорить о трубках тока - точно я не знаю, но неформально это некоторое множество линий тока, выходящих из малой окрестности точки, такое что оно не расходится далеко на протяжении некоторого расстояния - вот на этом протяжении и можно её обсуждать. Впрочем, возможно, для формулировки вопроса достаточно только линии тока, не знаю.

Понятно, что для любых двух произвольно взятых точках неверно, что они принадлежат одной трубке тока.

Но сменим систему отсчёта: прибавим ко всему полю скоростей поле $\vec{V}=\mathrm{const}.$ Можно ли для данного исходного поля скоростей подобрать такое $\vec{V},$ чтобы две заданные точки оказались принадлежащими одной трубке тока? (Можно рассмотреть вращающиеся системы отсчёта, это будет $\vec{V}+[\vec{\Omega},\vec{x}].$)

[amon]

Мое IMHO говорит, что для плохого поля скоростей (вязкая турбулентная жидкость, т.е. $\operatorname{div} \vec{v}\ne 0$ и $\operatorname{rot}\vec{v}\ne 0$) трубку тока не определить. С другой стороны, если наоборот $\operatorname{div} \vec{v}= 0$ и $\operatorname{rot}\vec{v}= 0$, то трубки тока сохраняются, т.е. если замкнутая поверхность где-то образована линиями тока, то внутренние линии никогда эту поверхность не пересекут. Значит если для такого потока взять две трубки тока то они никогда не пересекутся и никакими гладкими не особенными преобразованиями скоростей их не пересечь принудительно (топология не позволит).

[odelschwank]

Разве не достаточно в $\mathbb R^3$ взять большую скорость $V$, направленную вдоль отрезка, соединяющего заданные точки, чтобы $v$ было мало по сравнению с $V$ в некоторой окрестности этого отрезка? Т.е. движение будет почти прямолинейным и настолько быстрым, что $v$ не успеет ничего испортить.

[svv]

Munin
Чувствительно ли Ваше определение к абсолютной величине скорости?

Вот есть две близкие линии тока. Берем на них две близкие точки. Вдруг оказывается, что скорости резко различны, и точки, двигаясь по линиям с соответствующими скоростями, далеко расходятся, хоть сами линии всюду близки. Тогда эти линии относятся к одной трубке или нет? (Я бы считал, что нет.)

Пример: допустим, чай в стакане вращается так, что при некотором удалении от оси угловая скорость вращения имеет скачок. Если смотреть только на линии тока, «всё в порядке».

[VanD]

Мне казалось, что трубка тока - это когда из каждой точки простого замкнутого контура выпускается поток поля скорости? Тогда Вы можете, насколько я понимаю, взять простой замкнутый контур, проходящий через обе Ваши точки и выпустить из точек контура потоки поля скорости - получится, что эти две точки принадлежат одной трубке тока. Если так не честно, то можете выпустить поток из одной точки и взять близкую точку, через которую этот поток проходит, выпустить из второй и снова взять близкую точку, через которую второй поток проходит. Затем повторить предыдущее рассуждение для новых точек.

Поэтому мне пока не понятно, почему для любых произвольных точек на связном многообразии может быть неверно, что они принадлежат одной трубке тока, если, конечно, я правильно помню, что такое трубка тока.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #989088 писал(а):

прибавим ко всему полю скоростей поле $\vec{V}=\mathrm{const}.$ Можно ли для данного исходного поля скоростей подобрать такое $\vec{V},$ чтобы две заданные точки оказались принадлежащими одной трубке тока?

наверняка V можно подобрать по заданным близким точкам так, что они на одной линии тока окажутся. и следовать это должно из теоремы о неявной функции

-- Чт мар 12, 2015 11:32:57 --

да и близость точек почти не нужна

[Munin]

amon в сообщении #989119 писал(а):

Мое IMHO говорит, что для плохого поля скоростей (вязкая турбулентная жидкость, т.е. $\operatorname{div} \vec{v}\ne 0$ и $\operatorname{rot}\vec{v}\ne 0$) трубку тока не определить.

Можно наложить $\operatorname{div}\vec{v}=0$ (это, кажется, несжимаемость). Но ротор не должен помешать трубкам тока быть.

amon в сообщении #989119 писал(а):

С другой стороны, если наоборот $\operatorname{div} \vec{v}= 0$ и $\operatorname{rot}\vec{v}= 0$, то трубки тока сохраняются, т.е. если замкнутая поверхность где-то образована линиями тока, то внутренние линии никогда эту поверхность не пересекут. Значит если для такого потока взять две трубки тока то они никогда не пересекутся и никакими гладкими не особенными преобразованиями скоростей их не пересечь принудительно (топология не позволит).

По-моему, у вас интуиция не включилась. Возьмём шар, вращающийся внутри неподвижной жидкости. Он подпадает под ваше описание. Но сменим систему отсчёта - и линиии тока будут пересекать поверхность шара.

odelschwank в сообщении #989146 писал(а):

Разве не достаточно в $\mathbb R^3$ взять большую скорость $V$, направленную вдоль отрезка, соединяющего заданные точки, чтобы $v$ было мало по сравнению с $V$ в некоторой окрестности этого отрезка? Т.е. движение будет почти прямолинейным и настолько быстрым, что $v$ не успеет ничего испортить.

Вот неформально я тоже так подумал, но меня интересует, верно ли это математически? Может быть, есть какие-нибудь подлые контрпримеры и экзотические случаи, и при этом достаточно значимые на практике?

Объясню, вопрос возник при чтении

http://igorivanov.blogspot.de/2006/03/blog-post_25.html
И. Иванов (spark)

Цитата:

Осторожно: уравнение Бернулли!
В гидродинамике широко используется уравнение Бернулли, связывающее давление жидкости со скоростью течения. Для несжимаемой жидкости оно выглядит так:


$$P + \dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \mathrm{const}$$

Вывод его довольно прост, физически прозрачен и вполне доступен для школьника: для того, чтоб разогнать воду, ее надо подтолкнуть, т.е. давление со стороны меньшей скорости течения должно быть больше.

Теперь важный момент: этот вывод о связи скорости с давлением делается не для произвольных двух точек жидкости, а для трубки тока, то есть той линии, вдоль которой жидкость течет. Иногда об этом условии забывают, и тогда неоправданное применение формулы Бернулли приводит к неправильным заключениям или парадоксам. ...

-- 12.03.2015 12:43:38 --

svv в сообщении #989166 писал(а):

Вот есть две близкие линии тока. Берем на них две близкие точки. Вдруг оказывается, что скорости резко различны, и точки, двигаясь по линиям с соответствующими скоростями, далеко расходятся, хоть сами линии всюду близки. Тогда эти линии относятся к одной трубке или нет? (Я бы считал, что нет.)

Похоже, да, это трудность в моём "определении". Но изначально я оговорил, что поле скоростей гладкое, так что как раз "скорости резко различны" возникнуть не может.

VanD в сообщении #989169 писал(а):

Мне казалось, что трубка тока - это когда из каждой точки простого замкнутого контура выпускается поток поля скорости?

Честно говоря, я не знаю, что такое трубка тока формально. Можно думать, как вы написали, но надо иметь в виду, что тогда некоторые трубки тока разрастаются до неприличных размеров, и в том числе до вообще всего объёма жидкости.

Так что, я скорее имел в виду нечто вроде "узкой трубки тока", аналогичной "узкому световому лучу" в геометрической оптике.

-- 12.03.2015 12:44:12 --

Oleg Zubelevich в сообщении #989189 писал(а):

Munin в сообщении #989088 писал(а):

прибавим ко всему полю скоростей поле $\vec{V}=\mathrm{const}.$ Можно ли для данного исходного поля скоростей подобрать такое $\vec{V},$ чтобы две заданные точки оказались принадлежащими одной трубке тока?

наверняка V можно подобрать по заданным близким точкам так, что они на одной линии тока окажутся. и следовать это должно из теоремы о неявной функции

-- Чт мар 12, 2015 11:32:57 --

да и близость точек почти не нужна

Это доказываемо? То есть я могу полагаться на ваше мнение как математика?

[provincialka]

Munin в сообщении #989223 писал(а):

Можно наложить $\operatorname{div} \vec{v}\ne 0$ (это, кажется, несжимаемость).

А разве не наоборот, $\operatorname{div} \vec{v}= 0$?

[VanD]

Разве интеграл Бернулли для трубки тока тоже справедлив? Я знаю только его вывод для линии тока:

Уравнение Эйлера:

$\frac {\partial \vec{v}} {\partial t} + \nabla_{\vec{v}} {\vec{v}} = - \frac {1} {\rho} \vec{\nabla} p + \vec{F}$

Предположения для интеграла Бернулли: $\frac {\partial \vec{v}} {\partial t} = \vec{0}$, массовые силы потенциальны, баротропия.

Тогда в этих предположениях уравнение Эйлера перепишется в виде $ \nabla_{\vec{v}} {\vec{v}} = - \vec{\nabla} P +\vec{\nabla}{U}$
Скалярно умножим его на поле скорости: $ (\nabla_{\vec{v}} {\vec{v}}, \vec{v}) = - (\vec{\nabla} P, \vec{v}) + (\vec{\nabla}{U}, \vec{v})$
Результат можно переписать в виде: $\frac {1} {2} \nabla_{\vec{v}}({\vec{v}}, \vec{v}) + \nabla_{\vec{v}}{P} - \nabla_{\vec{v}}U = 0$
откуда получаем $\nabla_{\vec{v}} (\frac {1} {2} ({\vec{v}}, \vec{v}) + P - U) = 0$ и, значит, выражение

$\frac {1} {2} ({\vec{v}}, \vec{v}) + P - U$

сохраняется на интегральных кривых поля скорости, раз уж производная по его направлению есть $0$. А про трубку тока откуда берётся рассуждение?

Upd.
А, наверно что-то в духе рассуждения про непрерывность и близкие линии тока, тогда можно с небольшой погрешностью считать на всех довольно близких линиях тока величину $\frac {1} {2} ({\vec{v}}, \vec{v}) + P - U$ одинаковой?

[Munin]

provincialka в сообщении #989230 писал(а):

А разве не наоборот, $\operatorname{div} \vec{v}= 0$?

Тьфу, опечатка. Исправляю.

[Oleg Zubelevich]

Возьмем две точки $x_1,x_2\in\mathbb{R}^m$ . Рассмотрим следующую задачу

$$\dot x=v(x)+V,\quad x(0)=x_1$$

$v$ -- гладкая функция в окрестности отрезка $[x_1,x_2]$
Теорема. Существует такой постоянный вектор $V$ и число $t'>0$, что указанная задача имеет решение $x(t)$ такое, что $x(t')=x_2$

вечером доказательство выложу

[amon]

amon в сообщении #989223 писал(а):

никакими гладкими не особенными преобразованиями скоростей их не пересечь принудительно (топология не позволит).

Это я петуха дал, извиняюсь. Но, тем не менее.

Oleg Zubelevich в сообщении #989189 писал(а):

наверняка V можно подобрать по заданным близким точкам так, что они на одной линии тока окажутся.

Рассмотрим двумерный поток идеальной безвихревой несжимаемой жидкости движущейся с постоянной скоростью $\vec{v}=v_x$. Для нее можно ввести функцию тока (извиняюсь за распугивание воробьев баллистическими ракетами, но мне так проще оказалось) (см. напр. ЛЛ т.6 стр.39), которая для движения с постоянной скоростью будет $\psi=yv_x-xv_y$. Линия уровня этой функции будет линией тока. В случае $\vec{v}=v_x$ линия уровня $y^i=\frac{C_i}{v_x}$. Если мы теперь добавим постоянную скорость с компонентами $V_x$ и $V_y$, то линия уровня станет $(v_x+V_x)y=C_i+xV_y$, и, по моему, линии для разных $C_i$ не совместить (и не пересечь) никаким выбором $V$.

Munin в сообщении #989223 писал(а):

Возьмём шар, вращающийся внутри неподвижной жидкости. Он подпадает под ваше описание.

Для вращающегося шара $\operatorname{rot}\vec{v}\ne 0$. Что будет для таких полей я пока не сообразил.

[Oleg Zubelevich]

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу

$$\dot x=\epsilon v(x)+W,\quad x(0)=x_1\quad(*)$$

Ее решение обозначим за $x(t,\epsilon,W),\quad x(t,0,W)=x_1+tW$.

При достаточно малых $|\epsilon|,\quad \epsilon\ne 0$ уравнение $x(1,\epsilon,W)=x_2$ разрешимо относительно $W$.
Действительно, применяем теорему о неявной функции:

$$x(1,0,W)=x_1+W=x_2,\quad \mathrm{det}\,\frac{\partial x}{\partial W}(1,0,W)=1$$

Тперерь делаем в системе (*) замену времени $t=\tau/\epsilon$ -- получаем теорему для исходной системы. ЧТД

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #989276 писал(а):

получаем теорему для исходной системы. ЧТД

Это Вы доказали, что добавляя постоянную скорость можно провести линию тока через две любые наперед заданные точки, а вопрос был (может я его неправильно понял), можно ли точки, принадлежавшие разным трубкам, загнать в одну. И на этот вопрос, по моему, ответ отрицательный.

[Munin]

amon в сообщении #989280 писал(а):

Это Вы доказали, что добавляя постоянную скорость можно провести линию тока через две любые наперед заданные точки, а вопрос был (может я его неправильно понял), можно ли точки, принадлежавшие разным трубкам, загнать в одну.

А это, вроде бы, одно и то же. То, что две наперёд заданные точки принадлежали к разным трубкам, несущественный факт.

Доказательство почитаю внимательнее позже. Oleg Zubelevich, большое спасибо!