2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 20:15 


25/10/09
829
Ясно, что можно рассмотреть объем как сумму площадей сфер. Там будет просто $V=\int_0^R 4\pi x^2dx=\dfrac{4}{3}\pi R^3$.

Но а если шар разрезать на бесконечное число кругов параллельными плоскостями, то есть просто порезать его?
Получатся круги, с площадьми $\pi x^2$, тогда можно рассмотреть половину шара, ее объем $\int_0^R \pi x^2 dx=\dfrac{\pi R^3}3$. У второй половинки такой же объем, потому объем шара получается в $\dfrac{2}{3}\pi R^3$

Почему так получается, где тут глюк?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 20:19 
Заморожен


20/12/10
5623
integral2009 в сообщении #987889 писал(а):
Почему так получается, где тут глюк?
Потому что $dx$ не тот (во втором случае).

Кстати, по поводу нашинковать шар --- см. у Архимеда, который по-простому, без интегралов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 20:22 


25/10/09
829
nnosipov в сообщении #987894 писал(а):
integral2009 в сообщении #987889 писал(а):
Почему так получается, где тут глюк?
Потому что $dx$ не тот (во втором случае).


А почему не тот, как сделать тем?)

(Оффтоп)

$dx$ уже не тот?)) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 20:25 
Заморожен


20/12/10
5623
integral2009 в сообщении #987895 писал(а):
А почему не тот, как сделать тем?)
Вы школьник или студент? Если последнее, то уж как-нибудь сообразите сами. Про интегральные суммы вспомните, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 20:33 
Аватара пользователя


03/11/14

395
Попробуйте найти объем тела вращения, образованного полуокружностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
integral2009 в сообщении #987895 писал(а):
А почему не тот, как сделать тем?)

Четко описать, на какой "высоте" находится сечение и каков его радиус. А что обозначено за $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение09.03.2015, 21:24 


25/10/09
829
А теперь все ясно, что-то я затупил конкретно. Можно найти объем сегмента с высотой $h$. $V=\pi \int_0^H (2Rx-x^2)dx=\pi H^2(R-H/3)$. В этой формуле можно взять $H=R$, тогда будет половина объема шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение10.03.2015, 00:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31333

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #987894 писал(а):
по поводу нашинковать шар --- см. у Архимеда, который по-простому, без интегралов.

У Архимеда по-простому была нашинкована площадь, а не объём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод объема шара через интеграл.
Сообщение10.03.2015, 07:27 
Заморожен


20/12/10
5623
ewert в сообщении #987997 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #987894 писал(а):
по поводу нашинковать шар --- см. у Архимеда, который по-простому, без интегралов.

У Архимеда по-простому была нашинкована площадь, а не объём.

(Оффтоп)

И объём тоже. Формально без интегралов нельзя (третья проблема Гильберта), но это не значит, что их обязательно нужно писать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group