Сосуд максимального объёма

[ИСН]

Padawan, Вы мыльные пузыри надували когда-нибудь, например?

-- менее минуты назад --

Или нет... погодите. Хм. А как же это получается.

[mihiv]

Padawan, понял Вас, надо подумать.

[Padawan]

При $C\neq 0$ уравнение $r'\frac{\partial Q}{\partial r'}-Q=C$ преобразуется в

$$\frac{dr}{\sqrt{\frac{4\lambda^2 r^2}{(C+r^2)^2}-1}}=dz$$

Видим, что подкоренное выражение будет отрицательным в окрестности $z=0$, если выполняется начальное условие $r(0)=0$. Следовательно, никакая функция, удовлетворяющая условию $r(0)=0$ не может быть экстремалью данной изопериметрической задачи. Размышляя о том, что может значить этот факт, я пришел к выводу, что для того, чтобы получился сосуд максимального объема, часть площади поверхности может быть потрачена на образование дна. То есть условие $r(0)=0$ должно быть заменено на $r(0)=b$, где $b$ - радиус дна сосуда. А ограничение на площадь поверхности должно принять вид

$$\int_0^h 2\pi r\sqrt{1+r'^2} dz=S-\pi b^2$$

По симметрии, следует допустить, что и со стороны горлышка часть площади поверхности может потраться на образование кольца вокруг отверстия, т.е. условие $r(h)=a$ надо заменить на $r(h)=d$, где $d>a$. Соответственно интеграл площади надо еще уменьшить на площадь кольца $\pi (d^2-a^2)$

Кроме того, возможно профиль сосуда имеет изломы.

[ИСН]

Это Вы сказали, в сущности, что мыльный пузырь, зажатый между двумя стеклянными пластинами, превращается в...

[svv]

Omega в сообщении #986011 писал(а):

Итого такое вот магическое ДУ получается:

$$((1+(r_{z})^{2})(1-r r_{zz})+r(r_{z})^{2})\lambda = r(1+(r_{z})^{2})^{3/2}$$

Подозрительно не хорошее уравнение. Что-то мне подсказывает, - не то я делаю...

В этом уравнении слагаемое $r(r_{z})^{2}$ в левой части на самом деле должно быть $r(r_{z})^{2}r_{zz}$. Где именно Вы ошиблись — Вам легко будет найти из анализа размерностей: $r$ и $z$ имеют размерность длины, $r_{z}$, безразмерно, $r_{zz}$ — обратная длина. Если раскрыть внутренние скобки, все слагаемые будут безразмерны, кроме этого одного.

Если это исправить, уравнение преобразуется к виду
$\dfrac{1-r r_{zz}+(r_{z})^{2}}{r(1+(r_{z})^{2})^{3/2}} = \operatorname{const}$
Теперь возьмите «Сборник задач по дифгему и топологии» Мищенко, Соловьева, Фоменко, задача 6.4г (найти среднюю кривизну $H$ поверхности вращения). Посмотрите ответ. Увидите формулу
$\dfrac{x'((x')^2+(\rho')^2)+\rho(x''\rho'-x'\rho'')}{\rho((x')^2+(\rho')^2)^{3/2}}$
Здесь $x$ — это Ваш $z$, производные берутся по параметру. Если в качестве параметра взять $x$, то будет $x'=1, x''=0$, и получится как раз левая часть преобразованного уравнения.

Вывод: полученное Вами уравнение — это требование постоянства средней кривизны $H$. Даже если не знаете, что это — этот факт должен Вас воодушевить.

В частном случае, когда $H=0$, получаются минимальные поверхности, например, катеноид (см. в Вики мыльный пузырь в форме катеноида). А это — примерно пузыри в которые дуют под давлением.

[Padawan]

ИСН в сообщении #986313 писал(а):

мыльный пузырь, зажатый между двумя стеклянными пластинами, превращается в...

Во что?

[ИСН]

В сферический сегмент с плоскими дном и крышкой - я Вас понял так.

[Padawan]

Сферическая поверхность - это только одно из возможных решений уравнения Эйлера-Лагранжа. При $C=0$. Если $C\neq 0$, то профиль окружности уже не подойдет.

[ИСН]

ОК, в уже-не-сферический сегмент с плоскими дном и крышкой.

[Padawan]

А интересно, насколько это вообще порядочно взять и заменить "непонравившиеся" граничные условия ?

[Padawan]

Например, функция, $r=\rm{const}$, которой соответствует цилиндрическая поверхность, тоже является экстремалью.

Благодаря svv мы выяснили геометрический смысл множителя Лагранжа $\lambda$ -- это средняя кривизна поверхности. Это можно было также понять из равенства $\delta I[r]=\lambda\delta S[r]$, которое показывает, что приращение объема области, ограничиваемой поверхностью, равно средней кривизне, умноженной на приращение площади варьируемой поверхности (в общем случае надо брать интеграл от произведения средней кривизны на приращение площади участка поверхности).
Теперь неплохо было бы понять, какой геометрический смысл у константы $C$ в уравнении $r'\frac{\prtial Q}{\partial r'}-Q=C$ ?

[svv]

Padawan в сообщении #987274 писал(а):

Это можно было также понять из равенства $\delta I[r]=\lambda\delta S[r]$, которое показывает, что приращение объема области, ограничиваемой поверхностью, равно средней кривизне, умноженной на приращение площади варьируемой поверхности (в общем случае надо брать интеграл от произведения средней кривизны на приращение площади участка поверхности).

О, я тоже так рассуждал.

Позвольте ещё вдохновляющих цитат и ссылок.

А.И.Бобенко, Поверхности постоянной средней кривизны и интегрируемые уравнения, УМН, 1991, том 46.

Английская Википедия, статья Constant-mean-curvature surface писал(а):

In 1841 Delaunay proved that the only surfaces of revolution with constant mean curvature were the surfaces obtained by rotating the roulettes of the conics. These are the plane, cylinder, sphere, the catenoid, the unduloid and nodoid.

И других поверхностей нет. А для нашей задачи и эти не все годятся.

И в этой статье англоВики есть ссылки на работы, где излагаются результаты, классические и новые.
Например, Carl Johan Lejdfors, Surfaces of Constant Mean Curvature. Здесь приводится решение уравнения (классическое Делоне и современное Кенмоцу, раздел 3). Есть картинка, показывающая, как при изменении одного из параметров кривые-образующие эволюционируют из одного типа в другой.

[mihiv]

Мы убедились,что:

Padawan в сообщении #986259 писал(а):

никакая функция, удовлетворяющая условию $r(0)=0$ не может быть экстремалью данной изопериметрической задачи.
$\cdots $ Кроме того, возможно профиль сосуда имеет изломы.

Но решение задачи можно искать среди непрерывных функций, имеющих единственную точку разрыва производной (излом) на отрезке $[0,h]}$.
Пусть на отрезке $[0,z_0], r'(z_0)>0$ и $r(0)=0$, а на отрезке $[z_0,h],r'(z)<0$ и $r(h)=a$. Кроме того $r(z_0-0)=r(z_0+0)$. Функция $r(z)$ возрастает от $0$ до некоторого $r_0=r(z_0)$ на $[0,z_0]$ и убывает от $r_0$ до $a$ на$[z_0,h]$.
То есть мы ищем максимум объема среди этого класса функций. Но я не буду сразу использовать первый интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа, поскольку там неясен выбор произвольной постоянной $C$, а перейду в функционале от интегрирования по $z$ к интегрированию по $r$, как это было сделано здесь:

mihiv в сообщении #986100 писал(а):

В результате получим эквивалентную вариационную задачу, при решении которой, получим уравнение Э.-Л., соответствующее выбору $C=0$ в первом интеграле уравнения Э.-Л.( то есть при этом подходе значение $C=0$ получается автоматически) :

$$\dfrac {2\lambda _1 }{\sqrt {1+p^2}}=-r$$

на отрезке $[0,z_0]$ и

$$\dfrac {2\lambda _2}{\sqrt {1+p^2}}=-r$$

на отрезке $[z_0,h]$. После интегрирования этих уравнений, удовлетворения граничных условий, сшивания функции $r(z)$ в точке $z_0$, и вычисления боковой поверхности остается еще свободный параметр $z_0$, меняя который, находим максимум. В результате получим поверхность, образованную двумя пересекающимися сферическими поверхностями при $z=z_0$.