Распределение Максвелла

[fronnya]

Собственно, его я смог получить:

$$\varphi(v_x)=Ce^{-\alpha v_x^2}$$

Для остальных компонент аналогично. Теперь нужно определить $C$. Для этого есть условие нормировки

$$\int\varphi(v_x)dv_x=1$$

Какие здесь нужно пределы расставить?

[Munin]

$\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}$

[fronnya]

-- 01.03.2015, 18:51 --

А чему равен

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-\alpha v_x^2} dv_x$$

? Я знаю, что он не берется в элементарных функциях, но чето нигде не могу найти его значение с такими пределами.

-- 01.03.2015, 18:53 --

$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$ оно?

[amon]

fronnya в сообщении #984355 писал(а):

:shock:

$$ \begin{align} I=&\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx\\ I^2=&\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}dx\;dy \end{align} $$

[Pphantom]

fronnya в сообщении #984355 писал(а):

$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$ оно?

Оно. Идею вывода написал amon, можно еще почитать что-нибудь про "интеграл Пуассона".

[fronnya]

Pphantom в сообщении #984365 писал(а):

fronnya в сообщении #984355 писал(а):

$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}$ оно?

Оно. Идею вывода написал amon, можно еще почитать что-нибудь про "интеграл Пуассона".

Позже почитаю, нам говорили, что пока что достаточно просто знать их значения. А как определить $\alpha$?

[Pphantom]

fronnya в сообщении #984367 писал(а):

Позже почитаю, нам говорили, что пока что достаточно просто знать их значения. А как определить $\alpha$?

Например, вычислить $\left\langle \frac{m v_x^2}{2}\right\rangle$ и из соображений того, что это среднее значение энергии частицы, приходящейся на одну степень свободы, сказать, что получившийся результат равен $k T/2$.

[fronnya]

А в целом же $i/2 kT$?

-- 01.03.2015, 19:08 --

Чтобы вычислить $\overline{\frac{mv_x^2}{2}}$, нужно найти из полученного распределения $\overline{v_x^2}$?

[Pphantom]

fronnya в сообщении #984374 писал(а):

А в целом же $i/2 kT$?

В целом - да, но Вы ищете среднюю энергию только одной степени свободы, а не всех сразу.

fronnya в сообщении #984374 писал(а):

Чтобы вычислить $\overline{\frac{mv_x^2}{2}}$, нужно найти из полученного распределения $\overline{v_x^2}$?

Да. Соответствующий интеграл довольно легко сводится к тому же интегралу Пуассона.

[fronnya]

Если следовать определению мат.ожидания, то $\overline v_x=\int v_x \varphi(v_x) dv_x$ Опять же, какие пределы?

-- 01.03.2015, 19:22 --

Те же самые, наверное, ведь это скоростное пространство, оно им и осталось. Да?

[Pphantom]

fronnya в сообщении #984385 писал(а):

Если следовать определению мат.ожидания, то $\overline v_x=\int v_x \varphi(v_x) dv_x$ Опять же, какие пределы?

Только надо искать среднее квадрата, поэтому $\overline v_x^2=\int v_x^2 \varphi(v_x) dv_x$. Пределы те же, что и в прошлый раз - по всей области определения компоненты скорости $v_x$.

-- 01.03.2015, 20:28 --

fronnya в сообщении #984385 писал(а):

Те же самые, наверное, ведь это скоростное пространство, оно им и осталось. Да?

Да.

[fronnya]

Pphantom в сообщении #984388 писал(а):

fronnya в сообщении #984385 писал(а):

Если следовать определению мат.ожидания, то $\overline v_x=\int v_x \varphi(v_x) dv_x$ Опять же, какие пределы?

Только надо искать среднее квадрата, поэтому $\overline v_x^2=\int v_x^2 \varphi(v_x) dv_x$. Пределы те же, что и в прошлый раз - по всей области определения компоненты скорости $v_x$.

Оу. А я начал искать $\overline{v_x}$ и простой заменой интеграл свелся к интегралу Пуассона. А тут как?

[Ms-dos4]

fronnya
$\[\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{x^2}{e^{ - \alpha {x^2}}}dx} = - \frac{\partial }{{\partial \alpha }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{ - \alpha {x^2}}}dx} \]$

[Pphantom]

fronnya в сообщении #984391 писал(а):

А я начал искать $\overline{v_x}$ и простой заменой интеграл свелся к интегралу Пуассона.

Тут Вы где-то ошиблись, проверяйте. При вычислении средней скорости интеграл Пуассона не потребуется - $v_x$ вносится под дифференциал и получается тривиальный интеграл от экспоненты.

fronnya в сообщении #984391 писал(а):

А тут как?

А вот тут как раз Пуассон вылезет. Сначала вносим экспоненту (и с ней одну $v_x$) под дифференциал, потом интегрируем по частям то, что получится.

[fronnya]

Pphantom в сообщении #984400 писал(а):

fronnya в сообщении #984391 писал(а):

А я начал искать $\overline{v_x}$ и простой заменой интеграл свелся к интегралу Пуассона.

Т Сначала вносим экспоненту (и с ней одну $v_x$) под дифференциал, потом интегрируем по частям то, что получится.

Т.е. сделать замену переменной $e^{-\alpha v_x}$ ?