Сместится ли центр тяжести рельсы?

[Volodya]

Есть рельса 100 кг с равномерным распределением массы по объёму.

(1)

======O====B=

O - центр тяжести рельсы. B - точка на рельсе.
Прикладываем к точке O силу F вверх, к точке B силу (-F) вниз.
Сместится ли центр тяжести рельсы? Или рельса будет вращаться, на месте, вокруг точки O?

(2)

=A====O====B=

A, B - равноудалены от центра тяжести O.
Прикладываем к точке A силу F вверх, к точке B силу (-F) вниз.
Здесь, очевидно, рельса будет вращаться на месте вокруг центра тяжести O.


Являются ли (1) и (2) эквивалентными?


У меня следующие соображения.


======O====B=

Если приложим только к точке O силу F вверх, то рельса не будет закручиваться. Вся сила F расходуется только на ускорение вверх.


Если приложим только к точке B силу (-F) вниз, то рельса будет закручиваться. Часть силы F расходуется на ускорение вниз, а часть на создание вращения вокруг центра тяжести.


Получается, что результирующее ускорение вверх больше, чем результирующее ускорение вниз, а значит в случае (1) рельса должна сместиться вверх.

Так ли это на самом деле?

[Андрей123]

А на чём держится ваша рельса до приложения нагрузки? Если она лежит на гладкой плоскости и силы прикладывать не вверх и вниз, а, например вправо и влево, то т.к. суммарный вектор сил равен нулю и в начальный момент времени центр масс не двигался, то он не будет двигаться вообще. Случаи 1) и 2) неэквивалентны, т.к. получаются различные суммарные моменты относительно центра масс.

[Volodya]

Андрей123, рельса находится в пустоте в невесомости.

F и (-F) - внешние силы. Просто предположим, что они возникли, без уточнения как и откуда. Это абстрактный пример. OK?

[Zai]

Если во втором случае силы будут в два раза меньше чем в первом случае, то угловое ускорение будет одинаковое и случаи будут эквивалентны. Для плоских жестких систем моменты и силы будут равны друг другу. Это известно со времен Галилея когда моменты и силы были определены в механике.

[Volodya]

Большое спасибо, уважаемые друзья!

У меня ещё возник вопрос.

Пускай, вместо


======O=====B


теперь рассмотрим шестерёнку Ш1. Точка O - ось шестерёнки Ш1, через точку B проведена окружность - контур шестерёнки Ш1.

Другая шестерёнка Ш2 касается рассматриваемой шестерёнки Ш1 в точке B. Оси обоих шестерёнок жёстко закреплены к Земле.

Через точку B от шестерёнки Ш2 прикладывается сила F раскручивающая шестерёнку Ш1. При вращении шестерёнок точка B не сдвигается.

Какая сила действует на точку O?

(а) В случае сил трения = 0 в точке O (отключено торможение вращения).

(б) В случае сил трения = бесконечности в точке O (включено торможение вращения).


В случае (б), очевидно, на ось вращения действует сила (-F).

А в случае (a), когда шестерёнка раскручивается, какая сила действует на ось O?

[Андрей123]

Если точка O-центр тяжести шестерёнки Ш1, то т.к. она жёстко закреплена сумма всех сил, действующих на шестерёнку, должна быть равна нулю. Поэтому в точке O буде действовать сила, противоположная силе, приложенной в точке B.

[Volodya]

Спасибо!

То есть,

A===O===B

рельса 100 кг, на которой A, B - крайние точки, O - центр тяжести

и на рельсу снизу вверх летит шар 10 кг

(1) ударяет по центру тяжести, останавливается, а центр тяжести начинает двигаться

(2) ударяет по точке B, останавливается, а точка B начинает двигаться


То в случае (1) и случае (2) центр тяжести будет двигаться с одинаковой скоростью вверх?

[Андрей123]

Если сила удара одинакова, то это будет так. Если же шар летит с одинаковой скоростью в обеих случаях, то центр масс рельсы после удара будет двигаться с различными скоростями. В качестве примера рассмотрите абсолютно упругий удар.

[Volodya]

Андрей123
Спасибо!


Вы извините, что я задаю столько вопросов. Очень интересно понять законы физики на простых примерах. Ничего, если я ещё поспрашиваю у знающих людей?


Я подумал, что, если в случае (1) и случае (2) шар и рельса покрыты сильным клеем и при соприкосновении жёстко склеиваются. Обозначим эти случаи (1') и (2').

В случае (1') и случае (2') центр тяжести системы состоящей из склеинных рельсы и шара будет двигаться с одинаковой скоростью вверх?

[Андрей123]

После удара центр тяжести всей системы будет двигаться с одинаковой скоростью в обоих случаях, причём не важно склеиваются шар и рельса или нет. Это следует из закона сохранения импульса

[Volodya]

Андрей123, спасибо!

Но существует ещё другой закон - закон сохранения энергии. А из закона сохранения энергии следует, что скорость центра тяжести в случае (1') отличается от скорости центра тяжести в случае (2') на величину пропорциональную энергии вращения рельсы и шара во втором случае.

Я пытаюсь понять, почему закон сохранения испульса противоречит закону сохранения энергии?

Ведь очевидно, если есть покоящаяся рельса, то чтобы придать ей вращение, нужно затратить энергию, причём величина этой энергии больше 0, так как размеры рельсы не нулевые и масса тоже.

А если центры тяжести в случае (1') и (2') движутся с одинаковой скоростью, то количество энергии затраченной на создание вращения = 0, что невозможно, ведь рельса не точка нулевого радиуса.

Как это понять?

[Андрей123]

Закон сохранения энергии выполняется только в случае абсолютно упругого удара.Ничто ничему не противоречит. Давайте Вы выпишите ваше решение, и будем разбираться.

[Volodya]

Решение очень простое.

В случаях (1') и (2') сопротивление силе оказывает инерция рельсы.

В случае (1') величина инерции рельсы I1.
В случае (2') величина инерции рельсы I2.

Закон сохранения импульса был применён в предположении, что I1 = I2. Но фокус в том, что I1 < I2. Дело в том, что объект не одномерный, а 3-х мерный. 3-х мерное пространство расширяет инерцию тела: кроме инерции поступательного движения появляется инерция вращения.

I1 - инерция поступательного движения.
I2 - сумма инерций поступательного и вращательного движений.

I2 > I1.

Прикладывая одинаковую силу к телам с разным количеством инерции получаем разные ускорения тел.

Где здесь ошибка?

[Андрей123]

Выпишите закон изменения импульса произвольной системы.

[Volodya]

Закон сохранения импульса

$$\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_i=\overrightarrow{const}$$

$$\vec{p}_i=m_i\vec{v}_i, i=1..n$$

Тут рассмотрены частицы, как точки нулевого размера с массами

$$m_i$$

и скоростями

$$\vec{v}_i$$

. То есть, в законе сохранения импульса инерция поворота точки принята = 0.

Отсюда следует, что закон сохранения импульса применим для задач, в которых соударения не приводят к поворотам, но не применим для задач, в которых соударения приводят к поворотам, так как известно, что в реальности объекты не являются точками нулевого размера, а значит обладают не нулевой инерцией поворота, которую закон сохранения импульса не учитывает.

Получаем, что закон сохранения импульса для моей задачи даёт неправильный ответ о равности скоростей центров тяжестей вращающейся рельсы и не вращающейся. В действительности, скорость центра тяжести вращающейся рельсы меньше скорости центра тяжести не вращающейся рельсы.


Доказательство этому можно найти в 3-м томе Ладсберга в главах, где описаны маятники.

(M1) Маятник, на конце которого колесо, o - ось, колесо свободно может вращаться вокруг оси.

   |
  ___
 / | \
|  o  |
 \___/

(M2) Маятник, на конце которого колесо, x - ось, колесо не может вращаться вокруг оси, жёстко приварено.

   |
  ___
 / | \
|  x  |
 \___/

Отклоняем маятники, чтобы стержни маятников были горизонтальны, отпускаем и маятники имеют разный период колебаний при одинаковых массах и длинах. На каждый маятник действует одинаковая сила F вниз.

То есть, тратя дополнительно энергию на создание вращения у объекта скорость его центра тяжести уменьшается. (В данном примере скорость центра тяжести колеса).

Если бы дополнительное создание вращения не уменьшало результирующую скорость, то периоды маятников (M1) и (M2) были бы одинаковы.


В случае рельс, дополнительное создание вращения рельсы приводит к уменьшению скорости движения её центра тяжести. То есть, центр тяжести вращающейся рельсы движется медленнее, чем центр тяжести не вращающейся рельсы.


Закон сохранения импульса - величайшее заблуждение 21 века?