2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 19:41 


14/11/14
22
В книге "Теория чисел" в виде задачи дан алгоритм нахождения приведенного модуля, подобного данному, в мнимом квадратичном поле(зад.24, стр.173):
Пусть $\gamma$ из квадратичного мнимого квадратичного поля удовлетворяет условиям
$Im\gamma>0, -1/2<Re \gamma\le1/2$, но не является приведенным (то есть, модуль $\gamma$ меньше 0). Положим $\gamma_1=-\frac{1}{\gamma}+n$, где
целое рациональное $n$ выбрано так, что $-1/2<Re \gamma \le 1/2$. Если
$\gamma_1$ не приведенное, то аналогично полагаем $\gamma_2=-\frac{1}{\gamma_1}+n_1$ и т.д. Требуется показать, что за конечное число шагов мы получим приведенное число.
Пытаюсь решить так: предположим модуль каждого числа $\gamma_k$ из последовательности будет меньше 1, тогда последовательность мнимых частей этих чисел возрастает и имеет предел. Если этот предел не равен $\sqrt{3}/2$, то противоречие получается легко. Помогите, пожалуйста, со случаем, когда предел равен
$\sqrt{3}/2$. Или, может, есть какой-то другой путь решения. Задача, по-моему, непосредственного отношения к теории чисел не имеет...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 21:27 


14/11/14
22
Прошу прощения, опечатка. У приведенного числа модуль должен быть больше 1, а не больше 0, конечно

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Вы что-нибудь знаете про модулярную группу и ее действие дробно-линейными преобразованиями на верхней полуплоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 22:09 


14/11/14
22
Что такое PSL знаю. Про модулярную группу прочитал :D Но понимания не добавилось. Почему мы получим точку из фундаментальной области за конечное число шагов?
Или почему можно взять точку с орбиты с максимальной мнимой частью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
userded в сообщении #980629 писал(а):
почему можно взять точку с орбиты с максимальной мнимой частью?
Потому что максимальная мнимая часть отвечает минимальному $|c\gamma+d|$, где $c$, $d$ -- целые, не равные нулю одновременно. Т.е. то, что под модулем -- точки целочисленной решетки с базисом $\{1,\gamma\}$. Их в единичном круге конечное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 23:00 


14/11/14
22
спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group