2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 19:41 
В книге "Теория чисел" в виде задачи дан алгоритм нахождения приведенного модуля, подобного данному, в мнимом квадратичном поле(зад.24, стр.173):
Пусть $\gamma$ из квадратичного мнимого квадратичного поля удовлетворяет условиям
$Im\gamma>0, -1/2<Re \gamma\le1/2$, но не является приведенным (то есть, модуль $\gamma$ меньше 0). Положим $\gamma_1=-\frac{1}{\gamma}+n$, где
целое рациональное $n$ выбрано так, что $-1/2<Re \gamma \le 1/2$. Если
$\gamma_1$ не приведенное, то аналогично полагаем $\gamma_2=-\frac{1}{\gamma_1}+n_1$ и т.д. Требуется показать, что за конечное число шагов мы получим приведенное число.
Пытаюсь решить так: предположим модуль каждого числа $\gamma_k$ из последовательности будет меньше 1, тогда последовательность мнимых частей этих чисел возрастает и имеет предел. Если этот предел не равен $\sqrt{3}/2$, то противоречие получается легко. Помогите, пожалуйста, со случаем, когда предел равен
$\sqrt{3}/2$. Или, может, есть какой-то другой путь решения. Задача, по-моему, непосредственного отношения к теории чисел не имеет...

 
 
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 21:27 
Прошу прощения, опечатка. У приведенного числа модуль должен быть больше 1, а не больше 0, конечно

 
 
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 21:44 
Аватара пользователя
Вы что-нибудь знаете про модулярную группу и ее действие дробно-линейными преобразованиями на верхней полуплоскости?

 
 
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 22:09 
Что такое PSL знаю. Про модулярную группу прочитал :D Но понимания не добавилось. Почему мы получим точку из фундаментальной области за конечное число шагов?
Или почему можно взять точку с орбиты с максимальной мнимой частью?

 
 
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 22:56 
Аватара пользователя
userded в сообщении #980629 писал(а):
почему можно взять точку с орбиты с максимальной мнимой частью?
Потому что максимальная мнимая часть отвечает минимальному $|c\gamma+d|$, где $c$, $d$ -- целые, не равные нулю одновременно. Т.е. то, что под модулем -- точки целочисленной решетки с базисом $\{1,\gamma\}$. Их в единичном круге конечное число.

 
 
 
 Re: Задача из Боревич Шафаревич
Сообщение20.02.2015, 23:00 
спасибо

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group