2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
В чем у вас проблема? Что функция задана на разных промежутках разнными формулами. Значит, надо построить что-то вроде суммы $f(x)I_A(x)+g(x)I_B(x)$, где $I_A$ -- индикатор множества $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 19:56 


25/12/14
78
provincialka
Мне нужно записать мою функцию $y$ одной формулой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
integer в сообщении #981324 писал(а):
Мне нужно записать мою функцию $y$ одной формулой?

А как же иначе понимать, что она элементарная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:04 


25/12/14
78
provincialka
Ок, запишу немного позже.

Тепер меня вот что интересует. Понятно, что не всякая функция такого вида элементарная. Как понять элементарная ли функция такого вида?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Какого вида? А вы знаете, как доказывается неэлементарность сигнума?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:09 


25/12/14
78
provincialka

Такого вида
$y=\begin{cases} { x }^{ 3 }-1,\quad x>10 \\ 1,\quad x<-3 \end{cases}$

provincialka в сообщении #981339 писал(а):
А вы знаете, как доказывается неэлементарность сигнума?

Не знаю. Не плохо было бы узнать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Если вы решите задачу для конкретной функции, вы сразу поймете, как решать клас таких задач.

Для сигнума используется такая теорема: элементарная функция, заданная в точке, непрерывна в ней. Ну, а $sign$ определен в точке 0, но не непрерывен в ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
grizzly в сообщении #981314 писал(а):
integer в сообщении #981299 писал(а):
Какое определение тогда правильное?

Какое-нибудь такое хотя бы, в котором элементарные функции не могут представляться в виде композиции неэлементарных.

Боюсь, это невозможно.

Допустим, что какое бы определение мы ни взяли, линейная функция будет считаться элементарной, а функция Дирихле $D(x)$ - неэлементарной. Тогда функции
$$\begin{gathered}f(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{2}(2\,D(x)-1),\\g(x)=\begin{cases}f^{-1}(x)&\exists\,y\colon f(y)=x\\0&\text{иначе}\\\end{cases}\end{gathered}$$ будут, видимо, тоже неэлементарными, поскольку они "ещё хуже", чем функция Дирихле. Однако, $g(f(x))=x.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5441
Munin
Спасибо! Действительно, я перемудрил с модальностью предикатов :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение22.02.2015, 21:30 


25/12/14
78
provincialka
$y=\begin{cases} { x }^{ 3 }-1,\quad x>10 \\ 1,\quad x<-3 \end{cases}$

Что-то не получается у меня доказать, что это элементарная функция.
Надо отдохнуть и попытаться еще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение25.02.2015, 14:51 
Заслуженный участник


08/04/08
8435
integer в сообщении #981308 писал(а):
Вот нормальное определение.
Цитата:
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией
Это тоже плохое определение. Согласно ему $(\int e^{-x^2}dx)'$ неэлементарна.

provincialka в сообщении #981348 писал(а):
Для сигнума используется такая теорема: элементарная функция, заданная в точке, непрерывна в ней. Ну, а $sign$ определен в точке 0, но не непрерывен в ней.
:shock: и что? $\operatorname{sign}x$ - элементарная функция по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение25.02.2015, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Sonic86 в сообщении #982406 писал(а):
:shock: и что? $\operatorname{sign}x$ - элементарная функция по определению.
То есть как это? Нет. Это неудобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение25.02.2015, 15:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8435
provincialka в сообщении #982410 писал(а):
Sonic86 в сообщении #982406 писал(а):
:shock: и что? $\operatorname{sign}x$ - элементарная функция по определению.
То есть как это? Нет. Это неудобно.
:shock: Из того, что это неудобно, не следует, что $\operatorname{sign}x$ неэлементарна.

(Оффтоп)

$\operatorname{sign}0$ не определен, если что


integer в сообщении #981383 писал(а):
provincialka
$y=\begin{cases} { x }^{ 3 }-1,\quad x>10 \\ 1,\quad x<-3 \end{cases}$

Что-то не получается у меня доказать, что это элементарная функция.
Надо отдохнуть и попытаться еще.
Еще подсказка: $y=\frac{1}{x+|x|}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение25.02.2015, 15:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
А! Если $\operatorname{sign} 0$ не определен, то это, конечно, элементарная функция. Но все-таки стандартное определение предполагает $\operatorname{sign} 0=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные функции
Сообщение25.02.2015, 16:11 
Заслуженный участник


08/04/08
8435
Разобрались. :-)
В данном случае для решения задачи стандартный сигнум не нужен: у ТС кусочная функция определена на 2-х интервалах.
А! Ну значит у меня ошибка в обозначении просто. Ну пусть не $\operatorname{sign}$, а $\operatorname{sg}$ тогда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group