2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Формализовать наивное решение комбинаторной задачи
Сообщение16.02.2015, 09:07 


11/02/13
7
Здравствуйте.
Помогите поставить на строгие математические рельсы мои наивные рассуждения применительно к следующей задаче.
Спасибо.

Сама задача:
Цитата:
$16$ учеников решали контрольную, в которой было $8$ задач. Оказалось, что в итоге каждую
задачу решили ровно $5$ школьников. Сколько задач гарантированно решил самый умный из них?

Мое решение:
Поскольку необходимо найти гарантированное решение, значит необходимо найти наихудший вариант для самого умного — это вариант, когда наилучший ученик решил ненамного больше, чем основная масса учеников.
Эту ситуацию можно представить так:
Поскольку решенных задач получилось $40(=5 \cdot 8)$, можно перенумеровать решения от $1$ до $40$ (решение номер №1, №2, №3, ...) и соотнести каждому решению номер ученика (вторая строчка) таким образом:

$\begin{pmatrix}
\text{Номер решения: } & 1 & 2 & 3 & \ldots & 16 & 17 & 18 & 19 & \ldots \\
& \downarrow & \downarrow & \downarrow & \ldots & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \ldots \\
\text{Номер решившего ученика: } & 1 & 2 & 3 & \ldots & 16 & 1 & 2 & 3 & \ldots 
\end{pmatrix}$

Интуитивно мне кажется, что таким образом можно построить худшую ситуацию для самого умного ученика. Если мои правдоподобные рассуждения верны, то получается, что самый лучший ученик решил 3 задачи гарантированно. Потому что:

$\begin{pmatrix}
1 & \ldots & 16 & 17 & \ldots & 32 & 33 & \ldots & 40\\
\downarrow & \ldots & \downarrow & \downarrow & \ldots & \downarrow & \downarrow & \ldots & \downarrow\\
1 & \ldots & 16 & 1 & \ldots & 16 & 1 & \ldots & 8
\end{pmatrix}$

Как можно было рассуждать более формально?

PS: Спасибо, что заинтересовались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формализовать наивное решение комбинаторной задачи
Сообщение16.02.2015, 09:54 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Выстройте учеников в цепочку,
musius в сообщении #979000 писал(а):
$\begin{pmatrix}1 & \ldots & 16 & 17 & \ldots & 32 & 33 & \ldots & 40\\ \downarrow & \ldots & \downarrow & \downarrow & \ldots & \downarrow & \downarrow & \ldots & \downarrow\\ 1 & \ldots & 16 & 1 & \ldots & 16 & 1 & \ldots & 8\end{pmatrix}$

Лучше так:

Код:
1  2  3  4  5  1  2 ...  5  1  2  3 ...  1  2  3  4 ... 4  5
1  2  3  4  5  6  7 ... 15 16  1  2 ... 15 16  1  2 ... 7  8

 Профиль  
                  
 
 Re: Формализовать наивное решение комбинаторной задачи
Сообщение16.02.2015, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Можно рассуждать от противного. Предположите, что лучший ученик решил меньше 3 задач. Тогда сколько решил он? Сколько остальные?

Но для завершения решения надо обязательно привести пример.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group