Найти условный экстремум методом множителей Лагранжа.
![$
\[\begin{array}{l}
{({x_1} + 4)^2} + {({x_2} - 4)^2} \to extr;\\
2{x_1} - {x_2} - 2 \le 0, - {x_1} \le 0, - {x_2} \le 0;
\end{array}\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/5/cd5d7ab13ca77c9c4e97bd3e2fdb8c6f82.png "$
\[\begin{array}{l}
{({x_1} + 4)^2} + {({x_2} - 4)^2} \to extr;\\
2{x_1} - {x_2} - 2 \le 0, - {x_1} \le 0, - {x_2} \le 0;
\end{array}\]
$")
Я составляю функцию Лагранжа
![$\[L({x_1},{x_2},{\lambda _0},{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}) = {\lambda _0}({({x_1} + 4)^2} + {({x_2} - 4)^2}) + {\lambda _1}(2{x_1} - {x_2} - 2) - {\lambda _2}{x_1} - {\lambda _3}{x_3};\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/0/8c03a69d21c87d909b2cc46e2211158682.png "$\[L({x_1},{x_2},{\lambda _0},{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}) = {\lambda _0}({({x_1} + 4)^2} + {({x_2} - 4)^2}) + {\lambda _1}(2{x_1} - {x_2} - 2) - {\lambda _2}{x_1} - {\lambda _3}{x_3};\]$")
Далее выписываю необходимые условия минимума (Максимум,как я понял, достигается на бесконечности
![$\[{x_1} = 0,{x_2} = n,n \to + \inf \]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/4/e/74e341fca99a019fc62aad50d5381ff782.png "$\[{x_1} = 0,{x_2} = n,n \to + \inf \]$")
)
![$\[\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{d{x_1}}} = {\lambda _0}(2{x_1} + 8) + 2{\lambda _1} - {\lambda _2}\\
\frac{{\partial L}}{{d{x_2}}} = {\lambda _0}(2{x_1} - 8) - {\lambda _1} - {\lambda _3}
\end{array}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/2/602dbddfb992654c046bdc301bd3101d82.png "$\[\begin{array}{l}
\frac{{\partial L}}{{d{x_1}}} = {\lambda _0}(2{x_1} + 8) + 2{\lambda _1} - {\lambda _2}\\
\frac{{\partial L}}{{d{x_2}}} = {\lambda _0}(2{x_1} - 8) - {\lambda _1} - {\lambda _3}
\end{array}\]$")
![$\[\left\{ \begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{\lambda _0}(2{x_1} + 8) + 2{\lambda _1} - {\lambda _2} = 0\\
{\lambda _0}(2{x_1} - 8) - {\lambda _1} - {\lambda _3} = 0
\end{array} \right\}1\\
\left. \begin{array}{l}
{\lambda _1}(2{x_1} - {x_2} - 2) = 0\\
- {\lambda _2}{x_1} = 0\\
- {\lambda _3}{x_3} = 0
\end{array} \right\}2\\
\left. \begin{array}{l}
{\lambda _1} \ge 0\\
{\lambda _2} \ge 0\\
{\lambda _3} \ge 0
\end{array} \right\}3\\
\left. \begin{array}{l}
2{x_1} - {x_2} - 2 \le 0\\
- {x_1} \le 0\\
- {x_2} \le 0
\end{array} \right\}4
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/4/714b6a5570f276fe101e9e91aec88fb682.png "$\[\left\{ \begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
{\lambda _0}(2{x_1} + 8) + 2{\lambda _1} - {\lambda _2} = 0\\
{\lambda _0}(2{x_1} - 8) - {\lambda _1} - {\lambda _3} = 0
\end{array} \right\}1\\
\left. \begin{array}{l}
{\lambda _1}(2{x_1} - {x_2} - 2) = 0\\
- {\lambda _2}{x_1} = 0\\
- {\lambda _3}{x_3} = 0
\end{array} \right\}2\\
\left. \begin{array}{l}
{\lambda _1} \ge 0\\
{\lambda _2} \ge 0\\
{\lambda _3} \ge 0
\end{array} \right\}3\\
\left. \begin{array}{l}
2{x_1} - {x_2} - 2 \le 0\\
- {x_1} \le 0\\
- {x_2} \le 0
\end{array} \right\}4
\end{array} \right.\]$")
1-стационарности, 2-дополняющий нежесткости, 3-неотрицательности, 4-допустимости.
Вот такая неприятная система получилась. Собственно, вопрос - что делать дальше? когда было меньшее количество лямд(2) - одну фиксировали, рассматривали разные случаи, в некоторых получали противоречие, а в некоторых находили точки. Но с увеличением лямд до 4-х, задача становится гораздо сложнее. Может быть условия изначально можно было как-то упростить, чтобы получить полином с меньшим количеством лямд...
15.02.2015, 11:52 
![$\[ - inf - 2 \le 0,0 \le 0, - inf \le 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/7/dd726fb7d3fc95fb61c267c5270334cb82.png "$\[ - inf - 2 \le 0,0 \le 0, - inf \le 0\]$")
. Можно отсюда выразить 
?
умиляет.![$\[{x_2}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/7/78729383ed2006746ad4c774315149aa82.png "$\[{x_2}\]$")
и исходная функция теперь имеет вид ![$\[{f_0} = {({x_1} + 4)^2} + {(2{x_1} - 6)^2}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/3/be3db040e1426b11b60f0cb09ab2e3ec82.png "$\[{f_0} = {({x_1} + 4)^2} + {(2{x_1} - 6)^2}\]$")