Терминология и доказательства у Ландау, Лившица.

[bmg]

Коллеги.
В книге Краткий курс теоретической физики. Книга 1. Механика. Электродинамика. (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. М., 1969), в Главе II
"ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ", § 6. "Энергия" есть замечательное по силе доказательство: "Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с однородностью времени. В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени."

Может быть, кто-нибудь знает, что такое "однородность"?

[Red_Herring]

Однородность по временной (или какой другой) координате—сдвиг по этой координате не меняет уравнения. В узком смысле "другая" -- пространственная декартова. Если же "другая"--пространственная угловая, то говорят об изотропии.

[bmg]

Благодарю за разъяснение. Действительно, страницей раньше говорится "Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен".

[Munin]

Читайте не "Краткий курс", а "Теоретическую физику". Там подробней.

[bmg]

Коллеги.
Как однородность времени запрещает менять энергию системы?
Ведь из общих соображений понятно, что если в системе есть источник энергии, то энергия системы может увеличиваться.

[пианист]

bmg
Присоединяюсь к вышевысказанной рекомендации.
В Курсе это в первом томе, §6.
Как из общих, не знаю, по моему, никак.

[atlakatl]

bmg в сообщении #977653 писал(а):

если в системе есть источник энергии, то энергия системы может увеличиваться

Если есть источник, то энергия, сохраняясь в целом, просто переходит в другой вид.
Автомобиль стоял. Завёлся. Поехал. Химическая энергия бензина перешла в кинетическую всего авто.
---------
Связь однородности времени и закона сохранения энергии я вижу в практической невозможности вечного двигателя и наблюдаемой постоянной энерговооружённости Вселенной в её эволюции.
Этот двигатель, который, сохраняя все свои состояния во времени, почему-то обеспечивает постоянный отток энергии от себя.
Существуй такой двигатель где-нибудь в реальности, он бы за миллиарды лет порядочно "нагрел" бы Вселенную.

[Munin]

bmg в сообщении #977653 писал(а):

Ведь из общих соображений понятно, что если в системе есть источник энергии, то энергия системы может увеличиваться.

В таком случае, теоретически энергией называется другая величина, чем вы привыкли.

Это терминология и подход теоретической физики, прежде всего теоретической механики. Поскольку мы "знакомимся" с системой, начиная с уравнений, которыми она описана, а не с опытов, то мы не можем "узнать" в ней знакомых вещей по экспериментальным правилам и критериям. Вместо этого, мы называем такими вещами те или иные структурные особенности самой системы. Это прежде всего:
- обобщённые координаты - могут в привычном смысле быть вовсе не координатами;
- обобщённые импульсы - вообще чаще всего отличаются от обычного импульса;
- обобщённые силы - аналогично.
Кроме того, вводятся некоторые интегралы движения: либо просто какие-то произвольные, либо если они могут быть "узнаваемого" вида, то это:
- энергия - интеграл движения, связанный со сдвигами по времени;
- импульс (≠ обобщённый, или канонический, импульс) - интеграл движения, связанный со сдвигами в пространстве;
- момент импульса - интеграл движения, связанный с поворотами в пространстве.

К этому нужно привыкнуть.

-- 13.02.2015 15:49:04 --

Простейший пример. Возьмём осциллятор с затуханием (например, пружинный маятник в вязкой среде):

$$m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}.$$

I. Найдите функцию Лагранжа.
II. Убедитесь, что система инвариантна по отношению к сдвигам по времени. Найдите интеграл движения, связанный с этими сдвигами, который в этом смысле называется "энергией". Объясните его физический смысл.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #977711 писал(а):

Простейший пример. Возьмём осциллятор с затуханием (например, пружинный маятник в вязкой среде):

$$m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}.$$

I. Найдите функцию Лагранжа.
II. Убедитесь, что система инвариантна по отношению к сдвигам по времени. Найдите интеграл движения, связанный с этими сдвигами, который в этом смысле называется "энергией". Объясните его физический смысл.

Это действительно странный пример—никогда о таком с точки зрения Лагранжевой/Гамильтоновой механики не думал.

Чтобы получить ур-е надо Лагранжиан взять явно зависящим от времени напр. $L=\frac{1}{2}me^{\beta t} (\dot{x}^2-kx^2)$, тогда обобщенный импульс $p=m e^{\beta t}\dot{x}$ и Гамильтониан $H=\frac{1}{2m}e^{-\beta t}p^2+ \frac{k}{2} e^{\beta t}x^2$—который явно зависит от $t$ и потому не сохраняется; $\beta=b/m$.

[Munin]

Гамильтониан не сохраняется. Но "энергию" сохраняющуюся выписать можно.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #977760 писал(а):

Но "энергию" сохраняющуюся выписать можно.

Действительно, заменой $x=e^{\beta t/2}y$ мы приводим уравнение к $m\ddot{y}+Ky=0$ с
$K= k-\frac{b^2}{4m}$, после чего находим интеграл движения $I= \frac{m}{2}\dot{y}^2+ \frac{K}{2}y^2$ и выражаем через $x,\dot{x},t$. Но что это за животное с физической точки зрения я сказать не могу

[Munin]

Ага. Именно "животное". Тут есть следы некоторой обычной механической энергии. Но видно, что при том, что обычная механическая энергия постепенно исчезает, это "животное" остаётся постоянным. Его можно назвать "энергия, какой она была в начальный момент времени". И действительно, зная состояние движения в любой момент времени, мы можем посчитать эту "начальную энергию". Но от этого особо не легче.

[Red_Herring]

Распишем, принимая для простоты $m=k=1$: $I=\frac{1}{2}e^{bt}\bigl(\dot{x}^2 + \underline{bx\dot{x}}+x^2\bigr)$. Даже при $t=0$ это не энергия: мешает лишний член.

[Munin]

Да, но при $b=0$ - энергия.

[Red_Herring]

При $b=0$ это гамильтониан и сохраняется. Т.е. трение и лагранжева/гамильтонова динамика не очень дружат, что, конечно, не исключает вывода уравнений без трения, а потом включения в них трения.

В смысле иллюстрации разницы между, скажем, моментом и обобщенным моментом движение в магнитном поле (классическое ли, квантовое ли) дает как мне кажется лучшую иллюстрацию.