Терминология и доказательства у Ландау, Лившица.

[Munin]

Это другая разница.

Спасибо, что помогли с вычислениями.

[SergeyGubanov]

Red_Herring в сообщении #977800 писал(а):

Но что это за животное с физической точки зрения я сказать не могу

Это не сложно понять. Дело в правилах одномерного ковариантного дифференцирования (по времени).

Пусть в однородном времени $t$ уравнение имеет вид

$$ \ddot Q + {\dot f}^2 Q = 0 $$

Здесь $\dot f$ - одномерный тензор первого ранга, $\ddot Q$ - одномерный тензор второго ранга (одномерная связность равна нулю - время однородно).

Переходим к неоднородному времени $\tau(t)$. Производную по $\tau$ обозначаем штрихом.

Разумеется детерминант (одномерный) преобразования переменных не должен быть равен нулю, то есть $\dot \tau \ne 0$.

Обычное правило преобразования одномерных тензоров:

$$ \dot Q = Q' \dot\tau $$

Дифференцируем одномерный тензор - появляется одномерная связность:

$$ \ddot Q = Q'' {\dot\tau}^2 + Q' \ddot \tau $$

$$ \dot f = f' \dot\tau $$

Старое уравнение записанное в новом времени:

$$ Q'' + \frac{\ddot \tau}{{\dot\tau}^2} \, Q' + {f'}^2 Q = 0 $$

Дополнительное слагаемое с $Q'$ появилось из-за ненулевой одномерной связности, которая появилась из-за использования неоднородного времени $\tau$ вместо однородного $t$.

"Животное" получится если открутить преобразование обратно к однородному времени с нулевой одномерной связностью.

[Red_Herring]

SergeyGubanov в сообщении #979896 писал(а):

"Животное" получится если открутить преобразование обратно к однородному времени с нулевой одномерной связностью..

Я же не спрашиваю как это животное вывести (я сам это сделал гораздо проще). Но его имя Вы так и не назвали.

[dvb]

Ведь сказано в "Писании":

bmg в сообщении #976439 писал(а):

Действительно, страницей раньше говорится "Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен".

Осциллятор с затуханием не является замкнутой системой и формально не обязан описываеться Гамильтоновой механикой.
Что до "зверя" в полученном интеграле движения - это, вероятно, работа, которую совершает осциллятор над кем-то, кто обеспечивает трение. В нем легко обнаруживается что-то вроде силы, умноженной на нечто вроде пути.
PS. Интересно, а такой вот затухающий осциллятор квантуется штатным манером?

[Munin]

dvb в сообщении #980030 писал(а):

Осциллятор с затуханием не является замкнутой системой

Ну как это не является? Что такое замкнутая система?

Уравнение движения осциллятора с затуханием $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}.$ Не содержит времени явно. Выбор начала отсчёта времени совершенно произволен.

Просто это непривычный взгляд на ситуацию для нетеоретика. У нетеоретика ньютоновские дефиниции впитались в плоть и кровь. А для теоретика, это всего лишь частный случай того, что вообще бывает. Формулы можно написать любые, и даже иногда они могут совпасть с тем, что имеется в реальных явлениях - значит, морально мы должны быть готовы ко всему.

dvb в сообщении #980030 писал(а):

PS. Интересно, а такой вот затухающий осциллятор квантуется штатным манером? :roll:

А вот с квантованием сложнее. Для квантования важна унитарность. На классическом языке, она совпадает с сохранением фазового объёма (теорема Лиувилля), а здесь фазовый объём не сохраняется, а теряется - поэтому, кстати, и соответствующей гамильтоновой системы не существует (либо, как написал Red_Herring, можно ввести гамильтониан, явно зависящий от $t$ - впрочем, вот его можно попытаться проквантовать).

[SergeyGubanov]

Red_Herring в сообщении #979909 писал(а):

Но его имя Вы так и не назвали.

Одномерный псевдотензор энергии-импульса.

[Oleg Zubelevich]

куда интересней другое: дана четномерная система $\dot x=v(x)$, является ли она гамильтоновой (в окрестности особой точки $v(\hat x)=0$, например)? nobody knows...