2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение09.02.2015, 09:54 


09/02/15
45
В стандартном подходе к описанию осцилляций нейтрино постулируется, что нейтрино определенного типа (электронное, мюонное, тау) является суперпозицией состояний, имеющих определенные массы, т.е., например для случая 2-х нейтрино:
$
$$
 \begin{pmatrix}
 \nu_e \\
 \nu_\mu
  \end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix}
 \cos\theta & \sin\theta \\
 -\sin\theta & \cos\theta
  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
 \nu_1 \\
 \nu_2
  \end{pmatrix},
$$
$
где $\theta$ - угол сешивания.
Каждое из состояний $\nu_{1,2}$ является некоторым спинором с соответствующей массой, т.е. эти состояния подчиняются уравнениям Дирака с массами $m_1$ и $m_2,$ соответственно. В импульсном представлении это можно записать так:
$
 $$
 \begin{pmatrix}
 \gamma p-m_1 & 0 \\
 0 & \gamma p-m_2
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \nu_1 \\
 \nu_2
  \end{pmatrix}=0.
$$
$
Зная закон перехода от "массового базиса" к "флейворному", легко определить, каким уравнениям подчиняются непосредственно флейворные состояния:
$
 $$
 \begin{pmatrix}
 \gamma p-m_{ee} & -m_{e\mu} \\
 -m_{\mu e} & \gamma p-m_{\mu\mu}
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \nu_e \\
 \nu_\mu
  \end{pmatrix}=0,
$$
$
где
$
 \begin{pmatrix}
 m_{ee} & m_{e\mu} \\
 m_{\mu e} & m_{\mu\mu}
  \end{pmatrix}\equiv
\begin{pmatrix}
 \cos\theta & \sin\theta \\
 -\sin\theta & \cos\theta
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 m_1 & 0 \\
 0 & m_2
  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \cos\theta & \sin\theta \\
 -\sin\theta & \cos\theta
  \end{pmatrix}^\dag
$ - массовая матрица во флейворном базисе.

А теперь сама проблема:
Обычно полагают, что в момент "рождения" нейтрино имеет определенный тип, например - чисто электронное, иначе говоря, в начальный момент:
$
$$
\begin{pmatrix}
 \nu_e(0) \\
 \nu_\mu(0)
  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 \nu_e(0) \\
 0
  \end{pmatrix}.
$$
$
Одно из ур-ний движ-я для флейворных состояний имеет вид:
$
-m_{\mu e}\nu_e+(\gamma p-m_{\mu\mu})\nu_\mu=0.
$
Подставим сюда начальное условие $\nu_\mu=0$, тогда получим, что $-m_{\mu e}\nu_e(0)=0$.
Поскольку $m_{\mu e}$ - скаляр, то отсюда следует, что $\nu_e(0)=0,$ т.е. нейтрино в нач. момент вообще отсутствует!
Таким образом, получается, что стандартное нач. усл-е $\nu_\mu=0, \nu_e\neq0$ (или наоборот) противоречит уравнениям движ-я.
Возникает ряд вопросов: если рождается нейтрино не определенного типа, то каков тогда его "флейворный состав" в момент рождения? Как это сочетается с тем, что лагранжиан взаимодействия нейтрино диагонален во флейворном базисе (в отличие от массовой матрицы)? Каков вообще физический смысл этой ситуации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение09.02.2015, 12:06 
Заслуженный участник


25/12/11
750
А ну ка постойте. В уравнение Дирака входит $\gamma^0\partial_t\nu_\mu$, которое естественно зависит не только от $\nu_\mu(0)$. Так что вы по сути дела требуете, что мюонного нейтрино нет никогда, а не только в начальный момент времени. Удивителен ли ваш результат тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение09.02.2015, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
santafede в сообщении #975764 писал(а):
Одно из ур-ний движ-я для флейворных состояний имеет вид:
$
-m_{\mu e}\nu_e+(\gamma p-m_{\mu\mu})\nu_\mu=0.
$
Подставим сюда начальное условие $\nu_\mu=0$, тогда получим, что $-m_{\mu e}\nu_e(0)=0$.

Тут дело в том, что это уравнение - не в time domain, а во frequence domain, уже преобразованное по Фурье, поскольку вы сидите в импульсном представлении.

Можно перейти обратно в time domain, причём если хотите, только по 0-й (временно́й) оси. Тогда это уравнение станет дифференциальным, потому что 0-й компонент оператора $p=(\pm)i\hbar\partial$ - это производная по времени.

И вот тут оказывается, что начальное условие требуется не только на саму величину $\nu_\mu,$ но и на её производную. А она может быть ненулевой (даже должна быть). И уравнение становится нормальным, и $\nu_e\ne 0.$

-- 09.02.2015 12:14:56 --

fizeg в сообщении #975793 писал(а):
В уравнение Дирака входит $\gamma^0\partial_t\nu_\mu$, которое естественно зависит не только от $\nu_\mu(0)$.

Да вообще от него не зависит :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение09.02.2015, 14:10 


09/02/15
45
Munin в сообщении #975794 писал(а):
Можно перейти обратно в time domain, причём если хотите, только по 0-й (временно́й) оси. Тогда это уравнение станет дифференциальным, потому что 0-й компонент оператора $p=(\pm)i\hbar\partial$ - это производная по времени.

И вот тут оказывается, что начальное условие требуется не только на саму величину $\nu_\mu,$ но и на её производную. А она может быть ненулевой (даже должна быть). И уравнение становится нормальным, и $\nu_e\ne 0.$

-- 09.02.2015 12:14:56 --

Мысль понятна. В таком случае, в координатном представлении
$-m_{\mu e}\nu_e+(i\gamma\partial-m_{\mu\mu})\nu_\mu=0,$
откуда следует, что при $\nu_\mu(0)=0$ должно выполняться равенство
$-m_{\mu e}\nu_e(t=0)+i\gamma\partial\nu_\mu(t=0)=0$,
$\partial\nu_\mu(t=0)$ - это производная от $\nu_\mu$ при t=0, которая действительно должна быть ненулевой.

Только вот, насколько я понимаю, в случае дифф. ур-я 1-го порядка, для получения однозначного решения достаточно задать только начальное значение искомой ф-ции. Хотя, тут же система из 2-х дифф уравнений 1-го порядка, которая сводится к одному ур-ю 2-го порядка для каждой компоненты нейтрино.

Кроме того, мне казалось, что уравнение Дирака можно решать в любом представлении. Почему же в импульсном представлении получается такая ерунда?

Лично у меня была мысль, что проблема может быть связана с тем, что в уравнениях движения нет ничего, что описывало бы собственно процесс рождения нейтрино (источник), т.е. ур-я что я писал применимы только к свободной частице, которая не излучается и не поглощается.

-- 09.02.2015, 14:36 --

А, все, врубился: если требовать, чтобы усл-е $\nu_\mu(p)=0$ выполнялось для любого p, то при переходе в коорд. предст. получим ф-цию $\nu_\mu(x),$ которая тоже будет равна нулю для любого x, т.е. и в любой момент времени, а не только в начальный, о чем и говорил первый ответивший, если я правильно понял.

Тогда получается, что $\nu_\mu(p)$ должна быть такой ф-цией p, что после обр. преобр. Фурье дает ф-цию $\nu_\mu(x),$ которая обращается в нуль при $x_0=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение09.02.2015, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
santafede в сообщении #975822 писал(а):
Только вот, насколько я понимаю, в случае дифф. ур-я 1-го порядка, для получения однозначного решения достаточно задать только начальное значение искомой ф-ции. Хотя, тут же система из 2-х дифф уравнений 1-го порядка, которая сводится к одному ур-ю 2-го порядка для каждой компоненты нейтрино.

Вы имеете уравнение 1 порядка для вектора (из двух чисел), и нач. условие, заданное для этого вектора ($\nu_e(0),0$), и этого достаточно для решения. Всё окей, производная вычисляется из этого нач. условия, и далее вы двигаетесь по этой производной. (В реальности, там три компоненты нейтрино, и получаются более сложные осцилляции, в целом непериодические.)

santafede в сообщении #975822 писал(а):
Кроме того, мне казалось, что уравнение Дирака можно решать в любом представлении. Почему же в импульсном представлении получается такая ерунда?

Да, можно решать в любом представлении. Ерунда получается просто от того, что вы задаёте $\nu_\mu(t=0)$ - в импульсном представлении такой штуки просто нет! В импульсном представлении $\nu_\mu=\nu_\mu(\omega,k_x,k_y,k_z),$ понимаете? А
$$\nu_\mu(t=0)=\ldots\int\nu_\mu(\omega,k_x,k_y,k_z)d\omega,$$ по обратному фурье-преобразованию (я пренебрегаю нормировочными множителями). Пожалуйста, накладывайте такое условие, никто не против. Только оно сразу перестанет так прямолинейно, как вы подумали, соответствовать $\nu_e(t=0)$: например, если вы загоните своё бедовое уравнение под интеграл, то получите:
$$\int[-m_{\mu e}\nu_e+(\gamma p-m_{\mu\mu})\nu_\mu]d\omega=-m_{\mu e}\nu_e(t=0)+\left(\int(\gamma^0\omega-\gamma^i k_i)\nu_\mu\,d\omega\right)-m_{\mu\mu}\nu_\mu(t=0)\quad=0,$$ где второй член содержит $\omega$ под интегралом, и поэтому через $\nu_{e,\mu}(t=0)$ не выражается.

Собственно, так импульсное представление и используется - путём разложения в интеграл Фурье своих мозгов :-)

santafede в сообщении #975822 писал(а):
Лично у меня была мысль, что проблема может быть связана с тем, что в уравнениях движения нет ничего, что описывало бы собственно процесс рождения нейтрино (источник), т.е. ур-я что я писал применимы только к свободной частице, которая не излучается и не поглощается.

Гранусловия тоже можно загнать в импульсное представление. Для этого, давайте запишем уравнения движения как уравнения с правой частью:
$$(\gamma pI-M)\nu=(\text{источник}),$$ а источник зададим такой: на границе области решения (в spacetime domain) пусть он будет $\delta$-функцией, такой, что внутри области решения у нас искомая функция $\nu(x^\mu)$ будет той, которую мы ищем, а вне этой области - занулится. Ведь можем мы такое сделать? В пустой вселенной у нас вдруг возникает источник, который создаёт волну, которая гуляет в положенном ей стакане - ограниченном пространственными границами-дельтафункциями, и потом бац, наступает верхняя граница по времени, которая уничтожает всё, что получилось, в точность такое и там, где оно было. И снова навечно пустая вселенная.

А потом эти дельта-функционные гранусловия можно точно так же преобразовать по Фурье. Например, допустим, у нас гранусловие - это некоторое $f(x,y,z)\cdot\delta(t-t_0).$ Окей! Загоняем под Фурье, и получаем $\widetilde{f}(k_x,k_y,k_z)\cdot e^{-i\omega t_0}.$ Вот теперь это можно поставить в правую часть, и у нас получится уравнение движения с источником.

Или зачем нам такое условие? Давайте реалистичней. Пусть у нас есть частица с мировой линией $x=y=z=0.$ И уж она пускай излучает нейтрино. Это уже не граничное условие, а полноценный источник волн, но его точно так же можно пофурьять, и подставить в правую часть - просто тогда у нас будет уже нечто типа $e^{-i\mathbf{k}\cdot(x_0,y_0,z_0)}.$ Можно взять две частицы, чтобы рассчитать нейтринный обмен между ними - тогда у нас в пространстве будет два источника, и в импульсном представлении два таких слагаемых в правой части. Ну и так далее, можно с этим поиграться вдоволь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение20.02.2015, 04:44 


09/02/15
45
Тут еще возник вопросик: как известно, 4-компонентный спинор $\psi$, подчиняющийся уравнению дирака

$(i\gamma\partial-m)\psi=0$,

имеет только две независимые степени свободы, а именно

$$\begin{pmatrix}
\psi^{12}\\
 \psi^{34}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
 \psi^{12}\\
\frac{1}{m}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\psi^{12}.
\end{pmatrix}$$$

Таким образом, столбец $\begin{pmatrix}
 \nu_1\\
\nu_2
\end{pmatrix}$ имеет 4 независимые компоненты из 8-ми.

А что можно сказать о числе независимых компонент столбца $\begin{pmatrix}
\nu_e \\
\nu_\mu
\end{pmatrix}$?

Я поступил следующим образом:

В массовом базисе верны следующие соотношения

$$\nu_i^{34}=\frac{1}{m_i}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\nu_i^{12}$$, i=1,2.

Подставим в эти выражения

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \nu_1=\cos\theta\nu_e-\sin\theta\nu_\mu \\
 \nu_2=\sin\theta\nu_e+\cos\theta\nu_\mu \\
\end{array}
\right.$$

В итоге получается 2 выражения, относительно 4-х столбцов: $\nu^{12,34}_{e,\mu}$

После исключения неизвестной из 1-го ур-я и подстановки во 2-е у меня получилось:

$$(\sin\theta+\frac{m_1}{m_2}\cos\theta\ctg\theta)\nu_e^{34}+
\cos\theta(1-\frac{m_1}{m_2})\nu_\mu^{34}=
\sin\theta\frac{1-\ctg^2\theta}{m_2}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\nu_e^{12}$$

Суть в том, что у $\begin{pmatrix}
\nu_e \\
\nu_\mu
\end{pmatrix}$ получается шесть степеней свободы, а не 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение20.02.2015, 05:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
santafede в сообщении #980389 писал(а):
В итоге получается 2 выражения, относительно 4-х столбцов: $\nu^{12,34}_{e,\mu}$

После исключения неизвестной из 1-го ур-я и подстановки во 2-е у меня получилось:

Выпишите подробней эти два пункта, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение20.02.2015, 05:34 


09/02/15
45
1)
$$\nu_1^{34}=\cos\theta\nu_e^{34}-\sin\theta\nu_\mu^{34}=\frac{1}{m_1}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})(\cos\theta\nu_e^{12}-\sin\theta\nu_\mu^{12})$$
2)
$$\nu_2^{34}=\sin\theta\nu_e^{34}+\cos\theta\nu_\mu^{34}=\frac{1}{m_2}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})(\sin\theta\nu_e^{12}+\cos\theta\nu_\mu^{12})$$

Из 1) выражаем:
$$i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\nu_\mu^{12}=-m_1\ctg\theta\nu_e^{34}+m_1\nu_\mu^{34}-i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\ctg\theta\nu_e^{12}$$.

Подставляя в 2) получим то выражение, что я писал ранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение20.02.2015, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну и почему вы решили, что имеете 6 степеней свободы? У вас 6 переменных: $\nu_e^{12},\nu_e^{34},\nu_\mu^{34}$ - и 2 уравнения, на них наложенных (последнее выражение в post980389.html#p980389 ). Получается 4 независимых переменных. А $\nu_\mu^{12}$ вы сами исключили раньше. Как в школе...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение20.02.2015, 11:41 


09/02/15
45
Действительно

 Профиль  
                  
 
 Re: Нейтринные осцилляции: интересный казус
Сообщение21.02.2015, 05:19 


04/05/13
313
Munin в сообщении #975848 писал(а):
Ерунда получается просто от того, что вы задаёте $\nu_\mu(t=0)$ - в импульсном представлении такой штуки просто нет! В импульсном представлении $\nu_\mu=\nu_\mu(\omega,k_x,k_y,k_z),$ понимаете?

Теперь и до меня дошло...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group