Нейтринные осцилляции: интересный казус

[santafede]

В стандартном подходе к описанию осцилляций нейтрино постулируется, что нейтрино определенного типа (электронное, мюонное, тау) является суперпозицией состояний, имеющих определенные массы, т.е., например для случая 2-х нейтрино:
$ $$ \begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_\mu \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \end{pmatrix}, $$ $
где $\theta$ - угол сешивания.
Каждое из состояний $\nu_{1,2}$ является некоторым спинором с соответствующей массой, т.е. эти состояния подчиняются уравнениям Дирака с массами $m_1$ и $m_2,$ соответственно. В импульсном представлении это можно записать так:
$ $$ \begin{pmatrix} \gamma p-m_1 & 0 \\ 0 & \gamma p-m_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_1 \\ \nu_2 \end{pmatrix}=0. $$ $
Зная закон перехода от "массового базиса" к "флейворному", легко определить, каким уравнениям подчиняются непосредственно флейворные состояния:
$ $$ \begin{pmatrix} \gamma p-m_{ee} & -m_{e\mu} \\ -m_{\mu e} & \gamma p-m_{\mu\mu} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_\mu \end{pmatrix}=0, $$ $
где
$ \begin{pmatrix} m_{ee} & m_{e\mu} \\ m_{\mu e} & m_{\mu\mu} \end{pmatrix}\equiv \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}^\dag $ - массовая матрица во флейворном базисе.

А теперь сама проблема:
Обычно полагают, что в момент "рождения" нейтрино имеет определенный тип, например - чисто электронное, иначе говоря, в начальный момент:
$ $$ \begin{pmatrix} \nu_e(0) \\ \nu_\mu(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \nu_e(0) \\ 0 \end{pmatrix}. $$ $
Одно из ур-ний движ-я для флейворных состояний имеет вид:
$ -m_{\mu e}\nu_e+(\gamma p-m_{\mu\mu})\nu_\mu=0. $
Подставим сюда начальное условие $\nu_\mu=0$, тогда получим, что $-m_{\mu e}\nu_e(0)=0$.
Поскольку $m_{\mu e}$ - скаляр, то отсюда следует, что $\nu_e(0)=0,$ т.е. нейтрино в нач. момент вообще отсутствует!
Таким образом, получается, что стандартное нач. усл-е $\nu_\mu=0, \nu_e\neq0$ (или наоборот) противоречит уравнениям движ-я.
Возникает ряд вопросов: если рождается нейтрино не определенного типа, то каков тогда его "флейворный состав" в момент рождения? Как это сочетается с тем, что лагранжиан взаимодействия нейтрино диагонален во флейворном базисе (в отличие от массовой матрицы)? Каков вообще физический смысл этой ситуации?

[fizeg]

А ну ка постойте. В уравнение Дирака входит $\gamma^0\partial_t\nu_\mu$, которое естественно зависит не только от $\nu_\mu(0)$. Так что вы по сути дела требуете, что мюонного нейтрино нет никогда, а не только в начальный момент времени. Удивителен ли ваш результат тогда?

[Munin]

santafede в сообщении #975764 писал(а):

Одно из ур-ний движ-я для флейворных состояний имеет вид:
$ -m_{\mu e}\nu_e+(\gamma p-m_{\mu\mu})\nu_\mu=0. $
Подставим сюда начальное условие $\nu_\mu=0$, тогда получим, что $-m_{\mu e}\nu_e(0)=0$.

Тут дело в том, что это уравнение - не в time domain, а во frequence domain, уже преобразованное по Фурье, поскольку вы сидите в импульсном представлении.

Можно перейти обратно в time domain, причём если хотите, только по 0-й (временно́й) оси. Тогда это уравнение станет дифференциальным, потому что 0-й компонент оператора $p=(\pm)i\hbar\partial$ - это производная по времени.

И вот тут оказывается, что начальное условие требуется не только на саму величину $\nu_\mu,$ но и на её производную. А она может быть ненулевой (даже должна быть). И уравнение становится нормальным, и $\nu_e\ne 0.$

-- 09.02.2015 12:14:56 --

fizeg в сообщении #975793 писал(а):

В уравнение Дирака входит $\gamma^0\partial_t\nu_\mu$, которое естественно зависит не только от $\nu_\mu(0)$.

Да вообще от него не зависит :-)

[santafede]

Munin в сообщении #975794 писал(а):

Можно перейти обратно в time domain, причём если хотите, только по 0-й (временно́й) оси. Тогда это уравнение станет дифференциальным, потому что 0-й компонент оператора $p=(\pm)i\hbar\partial$ - это производная по времени.

И вот тут оказывается, что начальное условие требуется не только на саму величину $\nu_\mu,$ но и на её производную. А она может быть ненулевой (даже должна быть). И уравнение становится нормальным, и $\nu_e\ne 0.$

-- 09.02.2015 12:14:56 --

Мысль понятна. В таком случае, в координатном представлении
$-m_{\mu e}\nu_e+(i\gamma\partial-m_{\mu\mu})\nu_\mu=0,$
откуда следует, что при $\nu_\mu(0)=0$ должно выполняться равенство
$-m_{\mu e}\nu_e(t=0)+i\gamma\partial\nu_\mu(t=0)=0$,
$\partial\nu_\mu(t=0)$ - это производная от $\nu_\mu$ при t=0, которая действительно должна быть ненулевой.

Только вот, насколько я понимаю, в случае дифф. ур-я 1-го порядка, для получения однозначного решения достаточно задать только начальное значение искомой ф-ции. Хотя, тут же система из 2-х дифф уравнений 1-го порядка, которая сводится к одному ур-ю 2-го порядка для каждой компоненты нейтрино.

Кроме того, мне казалось, что уравнение Дирака можно решать в любом представлении. Почему же в импульсном представлении получается такая ерунда?

Лично у меня была мысль, что проблема может быть связана с тем, что в уравнениях движения нет ничего, что описывало бы собственно процесс рождения нейтрино (источник), т.е. ур-я что я писал применимы только к свободной частице, которая не излучается и не поглощается.

-- 09.02.2015, 14:36 --

А, все, врубился: если требовать, чтобы усл-е $\nu_\mu(p)=0$ выполнялось для любого p, то при переходе в коорд. предст. получим ф-цию $\nu_\mu(x),$ которая тоже будет равна нулю для любого x, т.е. и в любой момент времени, а не только в начальный, о чем и говорил первый ответивший, если я правильно понял.

Тогда получается, что $\nu_\mu(p)$ должна быть такой ф-цией p, что после обр. преобр. Фурье дает ф-цию $\nu_\mu(x),$ которая обращается в нуль при $x_0=0$.

[Munin]

santafede в сообщении #975822 писал(а):

Только вот, насколько я понимаю, в случае дифф. ур-я 1-го порядка, для получения однозначного решения достаточно задать только начальное значение искомой ф-ции. Хотя, тут же система из 2-х дифф уравнений 1-го порядка, которая сводится к одному ур-ю 2-го порядка для каждой компоненты нейтрино.

Вы имеете уравнение 1 порядка для вектора (из двух чисел), и нач. условие, заданное для этого вектора ($\nu_e(0),0$), и этого достаточно для решения. Всё окей, производная вычисляется из этого нач. условия, и далее вы двигаетесь по этой производной. (В реальности, там три компоненты нейтрино, и получаются более сложные осцилляции, в целом непериодические.)

santafede в сообщении #975822 писал(а):

Кроме того, мне казалось, что уравнение Дирака можно решать в любом представлении. Почему же в импульсном представлении получается такая ерунда?

Да, можно решать в любом представлении. Ерунда получается просто от того, что вы задаёте $\nu_\mu(t=0)$ - в импульсном представлении такой штуки просто нет! В импульсном представлении $\nu_\mu=\nu_\mu(\omega,k_x,k_y,k_z),$ понимаете? А

$$\nu_\mu(t=0)=\ldots\int\nu_\mu(\omega,k_x,k_y,k_z)d\omega,$$

по обратному фурье-преобразованию (я пренебрегаю нормировочными множителями). Пожалуйста, накладывайте такое условие, никто не против. Только оно сразу перестанет так прямолинейно, как вы подумали, соответствовать $\nu_e(t=0)$: например, если вы загоните своё бедовое уравнение под интеграл, то получите:

$$\int[-m_{\mu e}\nu_e+(\gamma p-m_{\mu\mu})\nu_\mu]d\omega=-m_{\mu e}\nu_e(t=0)+\left(\int(\gamma^0\omega-\gamma^i k_i)\nu_\mu\,d\omega\right)-m_{\mu\mu}\nu_\mu(t=0)\quad=0,$$

где второй член содержит $\omega$ под интегралом, и поэтому через $\nu_{e,\mu}(t=0)$ не выражается.

Собственно, так импульсное представление и используется - путём разложения в интеграл Фурье своих мозгов :-)

santafede в сообщении #975822 писал(а):

Лично у меня была мысль, что проблема может быть связана с тем, что в уравнениях движения нет ничего, что описывало бы собственно процесс рождения нейтрино (источник), т.е. ур-я что я писал применимы только к свободной частице, которая не излучается и не поглощается.

Гранусловия тоже можно загнать в импульсное представление. Для этого, давайте запишем уравнения движения как уравнения с правой частью:

$$(\gamma pI-M)\nu=(\text{источник}),$$

а источник зададим такой: на границе области решения (в spacetime domain) пусть он будет $\delta$-функцией, такой, что внутри области решения у нас искомая функция $\nu(x^\mu)$ будет той, которую мы ищем, а вне этой области - занулится. Ведь можем мы такое сделать? В пустой вселенной у нас вдруг возникает источник, который создаёт волну, которая гуляет в положенном ей стакане - ограниченном пространственными границами-дельтафункциями, и потом бац, наступает верхняя граница по времени, которая уничтожает всё, что получилось, в точность такое и там, где оно было. И снова навечно пустая вселенная.

А потом эти дельта-функционные гранусловия можно точно так же преобразовать по Фурье. Например, допустим, у нас гранусловие - это некоторое $f(x,y,z)\cdot\delta(t-t_0).$ Окей! Загоняем под Фурье, и получаем $\widetilde{f}(k_x,k_y,k_z)\cdot e^{-i\omega t_0}.$ Вот теперь это можно поставить в правую часть, и у нас получится уравнение движения с источником.

Или зачем нам такое условие? Давайте реалистичней. Пусть у нас есть частица с мировой линией $x=y=z=0.$ И уж она пускай излучает нейтрино. Это уже не граничное условие, а полноценный источник волн, но его точно так же можно пофурьять, и подставить в правую часть - просто тогда у нас будет уже нечто типа $e^{-i\mathbf{k}\cdot(x_0,y_0,z_0)}.$ Можно взять две частицы, чтобы рассчитать нейтринный обмен между ними - тогда у нас в пространстве будет два источника, и в импульсном представлении два таких слагаемых в правой части. Ну и так далее, можно с этим поиграться вдоволь.

[santafede]

Тут еще возник вопросик: как известно, 4-компонентный спинор $\psi$, подчиняющийся уравнению дирака

$(i\gamma\partial-m)\psi=0$,

имеет только две независимые степени свободы, а именно

$$\begin{pmatrix} \psi^{12}\\ \psi^{34} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \psi^{12}\\ \frac{1}{m}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\psi^{12}. \end{pmatrix}$$$

Таким образом, столбец $\begin{pmatrix} \nu_1\\ \nu_2 \end{pmatrix}$ имеет 4 независимые компоненты из 8-ми.

А что можно сказать о числе независимых компонент столбца $\begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_\mu \end{pmatrix}$?

Я поступил следующим образом:

В массовом базисе верны следующие соотношения

$$\nu_i^{34}=\frac{1}{m_i}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\nu_i^{12}$$

, i=1,2.

Подставим в эти выражения

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \nu_1=\cos\theta\nu_e-\sin\theta\nu_\mu \\ \nu_2=\sin\theta\nu_e+\cos\theta\nu_\mu \\ \end{array} \right.$$

В итоге получается 2 выражения, относительно 4-х столбцов: $\nu^{12,34}_{e,\mu}$

После исключения неизвестной из 1-го ур-я и подстановки во 2-е у меня получилось:

$$(\sin\theta+\frac{m_1}{m_2}\cos\theta\ctg\theta)\nu_e^{34}+ \cos\theta(1-\frac{m_1}{m_2})\nu_\mu^{34}= \sin\theta\frac{1-\ctg^2\theta}{m_2}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\nu_e^{12}$$

Суть в том, что у $\begin{pmatrix} \nu_e \\ \nu_\mu \end{pmatrix}$ получается шесть степеней свободы, а не 4.

[Munin]

santafede в сообщении #980389 писал(а):

В итоге получается 2 выражения, относительно 4-х столбцов: $\nu^{12,34}_{e,\mu}$

После исключения неизвестной из 1-го ур-я и подстановки во 2-е у меня получилось:

Выпишите подробней эти два пункта, пожалуйста.

[santafede]

1)

$$\nu_1^{34}=\cos\theta\nu_e^{34}-\sin\theta\nu_\mu^{34}=\frac{1}{m_1}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})(\cos\theta\nu_e^{12}-\sin\theta\nu_\mu^{12})$$

2)

$$\nu_2^{34}=\sin\theta\nu_e^{34}+\cos\theta\nu_\mu^{34}=\frac{1}{m_2}i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})(\sin\theta\nu_e^{12}+\cos\theta\nu_\mu^{12})$$

Из 1) выражаем:

$$i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\nu_\mu^{12}=-m_1\ctg\theta\nu_e^{34}+m_1\nu_\mu^{34}-i(\partial_0+\vec{\sigma}\vec{\partial})\ctg\theta\nu_e^{12}$$

.

Подставляя в 2) получим то выражение, что я писал ранее.

[Munin]

Ну и почему вы решили, что имеете 6 степеней свободы? У вас 6 переменных: $\nu_e^{12},\nu_e^{34},\nu_\mu^{34}$ - и 2 уравнения, на них наложенных (последнее выражение в post980389.html#p980389 ). Получается 4 независимых переменных. А $\nu_\mu^{12}$ вы сами исключили раньше. Как в школе...

[santafede]

Действительно

[dvb]

Munin в сообщении #975848 писал(а):

Ерунда получается просто от того, что вы задаёте $\nu_\mu(t=0)$ - в импульсном представлении такой штуки просто нет! В импульсном представлении $\nu_\mu=\nu_\mu(\omega,k_x,k_y,k_z),$ понимаете?

Теперь и до меня дошло...