Мир, как натянутое нечто, разделяющее непонятно что

[epros]

V_V_V в сообщении #976281 писал(а):

Неизоморфность колец доказывает неизоморфность сигнатур

По-моему, это какая-то формальная фигня, не имеющаяся реального значения. Как я понимаю, такими же рассуждениями можно "доказать" и то, что варианты ОТО с сигнатурой метрики $(+---)$ и $(-+++)$ -- неизоморфны. А на самом деле знак метрики абсолютно не имеет значения. Просто надо его один раз выбрать, чтобы не путаться.

[telik]

Самое правильное непротиворечивое введение сигнатуры (+ + + +) для пространства-времени.
Если считаем время как дополнительное измерение, но с мнимым множителем.

$s^2=(ict)^2+x^2+y^2+z^2$

В такой форме ввел минковский, и это на мой взгляд ближе к правде.

[V_V_V]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #976487 писал(а):

V_V_V в сообщении #976281 писал(а):

Это так называемое "вращение Вика"

И ещё одно враньё.

V_V_V какой-то тролль. См. его историю сообщений.

Уважаемый Munin, тут в ветке выяснилось, что вы не знаете, что такое AdS, а сейчас выясняется, что вы не знаете что такое Wick Rotation.
Когда вы наконец начнете читать учебники?
Ваше дремучее невежество оскорбляет этот форум.

[Pphantom]

V_V_V в сообщении #976780 писал(а):

Уважаемый Munin, тут в ветке выяснилось, что вы не знаете, что такое AdS, а сейчас выясняется, что вы не знаете что такое Wick Rotation.
Когда вы наконец начнете читать учебники?

Это несложно узнать: приведите, пожалуйста, Ваше определение вращения Вика с соответствующими ссылками на источники. Для определенности: это требование модератора.

Munin, пожалуйста, сделайте то же самое.

[V_V_V]

Да, пожалуйста, хотя бы вот это (популярно):
http://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation
Давно я этой темой занимался (лет 15 тому назад), но могу, если поковыряться, подогнать еще кучу статей по этой теме

[Утундрий]

Когда закончите меряться осведомлённостью, обратите внимание и на мой вопрос. Накой в данной задаче вводить какую-либо алгебру?

[V_V_V]

Утундрий в сообщении #976907 писал(а):

Накой в данной задаче вводить какую-либо алгебру?

Утундрий, в Вашей безусловно интересной задаче, главным моментом является геометрия. Но такова структура математики, что с геометрией неразрывно связана алгебра. Более того, алгебра довлеет над геометрией, в этом я абсолютно согласен со старичком Пенроузом (твисторная программа).

[Утундрий]

V_V_V в сообщении #976915 писал(а):

такова структура математики, что с геометрией неразрывно связана алгебра. Более того, алгебра довлеет над геометрией

Спасибо за публикацию своего символа веры. Однако, если не возражаете, давайте в этой теме воздержимся от обсуждения религиозных вопросов.

[arseniiv]

(Оффтоп)

V_V_V в сообщении #976915 писал(а):

Но такова структура математики, что с геометрией неразрывно связана алгебра.

И зачем тут 32-мерные алгебры Клиффорда, действительно? Спортить не буду, это штуки классные — но зачем? Куда их приткнуть? На чём должно сказаться $C\ell_{2,3}(\mathbb R)\not\sim C\ell_{3,2}(\mathbb R)$?

Если не надо уважать умножение алгебры, то и разницы большей смены знака между $({+}{+}{-}{-}{-})$ и $({-}{-}{+}{+}{+})$ не остаётся.

Хотя зря оффтоп развиваю… [P. S. Поправил сигнатуры и размерность алгебр Клиффорда с 16 до 32.]

[Pphantom]

V_V_V в сообщении #976905 писал(а):

Да, пожалуйста, хотя бы вот это (популярно):

Популярно не требуется. Требуется привести определение здесь и дать ссылку на нормальный источник (а не на Википедию).

[Munin]

Pphantom в сообщении #976882 писал(а):

Это несложно узнать: приведите, пожалуйста, Ваше определение вращения Вика с соответствующими ссылками на источники. Для определенности: это требование модератора.

Munin, пожалуйста, сделайте то же самое.

V_V_V в сообщении #976905 писал(а):

Да, пожалуйста, хотя бы вот это (популярно):
http://en.wikipedia.org/wiki/Wick_rotation

Ну что ж, я вполне согласен с этим источником, по крайней мере в объеме первых двух пунктов (начало статьи и Overview).

Ещё:
Вайнберг. Квантовая теория поля. Т. 1. § 11.2. (По изд-ю 2003 года с. 507.)

Цитата:

Следующий шаг называется поворотом Вика [2]. ... Контур интегрирования по $p^0$ можно повернуть против часовой стрелки, не пересекая при этом полюсов. В результате вместо интегрирования по вещественной оси от $-\infty$ до $+\infty,$ мы интегрируем по мнимой оси от $-i\infty$ до $+i\infty.$ Вводя обозначение $p^0=ip^4,$ мы находим, что интегрирование можно производить по $p^4,-\infty<p^4<+\infty.$ (Если в знаменателе пропагатора вместо $i\epsilon$ стояло бы $-i\epsilon$ то тогда нам следовало бы положить $p^0=-ip^4,$ где опять область интегрирования по $p^4$ совпадала бы с вещественной осью. ...)
<...>
Все скалярные произведения вычисляются с использованием евклидовой метрики


$$a\cdot b=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3+a^4b^4.$$

Рубаков. Классические калибровочные поля. Глава 11, пункт 11.1. (По изд-ю 1999 года с. 174, по изд-ю 2005 года 1-й том, с. 219.)

Цитата:

Заметим сразу, что $S_\mathrm{b}$ совпадает с евклидовым действием, вычисленным на классической траектории частицы, движущейся «в мнимом времени» с энергией $E=0$ из точки $q=q_0$ в точку $q=q_1$ и обратно. Чтобы пояснить сделанное утверждение, запишем сначала обычное действие для классической частицы в потенциале $V(q)$...
Сделаем, чисто формально, в этом действии замену $t=-i\tau$ и будем считать $\tau$ действительным. Тогда действие 11.3 превратится в $iS_\mathrm{E},$ где...
Функционал $S_\mathrm{E}$ мы будем называть евклидовым действием, а $\tau$ — евклидовым временем.
Причина возникновения термина «евклидово время» — в том, что метрика Минковского $ds^2=dt^2-d\mathrm{x}^2$ при формальной замене $t=-i\tau$ превращается, с точностью до знака, в евклидову метрику $ds_\mathrm{E}^2=d\tau^2+d\mathrm{x}^2.$ Мы увидим, что туннельные процессы в теории поля описываются решениями уравнений поля в евклидовом пространстве-времени. Подчеркнем, что введение евклидова времени — это чисто формальный прием.

К сожалению, в Физической Энциклопедии и в Энциклопедии Математической Физики этому приёму не уделено отдельной статьи, и его нет даже в предметном указателе.

-- 12.02.2015 02:07:18 --

Применительно к ОТО и искривлённому пространству-времени, поворот Вика не есть что-то вошедшее в строгую теорию (за неимением таковой), но обсуждается довольно давно и как вполне чёткая концепция. Введён Стивеном Хокингом. Ссылка:
Хокинг, Пенроуз. Природа пространства и времени. (По изд-ю 2000 года, с. 57 (Хокинг) и с. 147 (Пенроуз).)

Хокинг:

Цитата:

Вернемся теперь к метрике Шварцшильда в первоначальных координатах $t$ и $t.$ Если положить $t=i\tau,$ получается положительно определенная метрика. Я буду называть такие метрики евклидовыми, хотя они могут соответствовать искривленному пространству. В такой евклидово-шварцшильдовской метрике по-прежнему существует кажущаяся сингулярность при $r=2M.$ Однако можно определить новую радиальную координату $x,$ равную $4M(1-2Mr^{-1})^{1/2}.$

Метрика в плоскости $x\text{--}\tau$ становится тогда подобна метрике в полярной системе координат, если сопоставить координату $\tau$ с периодом $8\pi M.$ Аналогично, другие евклидовы метрики для черной дыры будут иметь кажущиеся сингулярности на своих горизонтах, которые могут быть устранены сопоставлением мнимой временной координаты с периодом $\tfrac{2\pi}{\varkappa}$ (рис. 3.5).

В чем состоит смысл использования мнимого времени, отождествленного с некоторыми периодом $\beta$? Чтобы это увидеть, рассмотрим амплитуду перехода из некоторой конфигурации поля $\varphi_1$ на поверхности $t_1$ в конфигурацию $\varphi_2$ на плоскости $t_2.$ Она дастся матричным элементом оператора $e^{-iH(t_2-t_1)}.$ Однако ее можно также представить с помощью интеграла по путям по всем полям $\varphi$ в интервале времени между $t_1$ и $t_2,$ которые совпадают с данными полями $\varphi_1$ и $\varphi_2$ на двух поверхностях (рис. 3.6).

Выберем интервал времени $(t_2-t_1)$ чисто мнимым и равным $\beta$ (рис. 3.7). Можно также считать начальное поле $\varphi_1$ равным конечному полю $\varphi_2$ и просуммировать по полному базису состояний $\varphi_n.$ Тогда с левой стороны получаем среднее значение $e^{-\beta H},$ просуммированное по всем состояниям. Это выражение совпадает с термодинамической статистической суммой $Z$ при температуре $T=\beta^{-1}.$

С правой стороны уравнения записан интеграл по путям. Положим в нем $\varphi_1=\varphi_2$ и просуммируем по всем конфигурациям поля $\varphi_n.$ Это означает, что эффективно происходит вычисление интеграла по путям по всем полям $\varphi$ в пространстве-времени, которое обладает периодичностью по мнимому времени с периодом $\beta.$ Такая статистическая сумма для нолей $\varphi$ при температуре $T$ дается интегралом по путям по всем полям в евклидовым пространстве-времени. Это пространство-время периодично по мнимому времени с периодом $\beta=T^{-1}.$

Если вычислить интеграл по путям в плоском пространстве-времени, обладающем периодом $\beta$ по мнимому времени, можно получить обычный результат для статистической суммы излучения черного тела. Однако, как мы уже видели, евклидово шварцшильдовское решение является также периодическим в мнимом времени с периодом $\tfrac{\varkappa}{2\pi}.$ Это означает, что поля на фоне решения Шварцшильда ведут себя так. как если бы они находились в состоянии теплового равновесия с температурой $\tfrac{\varkappa}{2\pi}.$



Пенроуз:

Цитата:

Виковский поворот
Он является полезным инструментом в КТП. Замена $t$ на $it$ происходит путем вращения временной оси. Это переводит пространство Минковского в евклидово пространство. Полезность такого шага следует из того, что определенные выражения (такие, как интегралы но путям) лучше определены в евклидовом пространстве, а не в пространстве Минковского. Виковский поворот является хорошо контролируемым приемом в КТП, по крайней мерс, пока он применяется в плоском (или стационарном) пространстве-времени. Идея Стивена об использовании «виковского поворота» в пространстве лоренповских метрик (для получения пространства евклидовых метрик) действительно очень интересна и необычна, но в то же время она очень сильно отличается от поворота Вика в КТП. Это действительно «виковский поворот» на другом уровне.

-- 12.02.2015 02:16:10 --

Во-первых, как уже отметил epros, замена сигнатуры $(++---)$ на $(+++--)$ вполне корректна, если все переменные домножить на мнимую единицу, и переставить. Получается изоморфизм. В отличе от виковского поворота, в котором не получается изоморфизма. Алгебраические аргументы тут неприменимы, поскольку вводят дополнительные структуры: эти дополнительные структуры могут быть неизморфны в зависимости от способа введения, а сами пространства, на которых они введены, - по-прежнему изоморфны.

Во-вторых, виковский поворот предназначен для получения "евклидового времени" (евклидового многообразия = риманова многообразия без приставки "псевдо-"), и поэтому имеет смысл только в том виде, в котором переводит сигнатуру в $(+++++).$

Насчёт AdS кристально ясно высказался fizeg

fizeg в сообщении #976196 писал(а):

Я могу понять отчего вы заговорили об AdS. Если бы поверхность была гиперболоидом, именно его бы и получили. Но здесь при нулевой флуктуации так вообще все плоское, о каком AdS речь.

[V_V_V]

Munin проявил себя очень прилежным учеником и самым основательным образом проштудировал учебники. Я счастлив. Хочется поставить ему пять. Но есть одно небольшое замечание касательно

Munin в сообщении #977112 писал(а):

Алгебраические аргументы тут неприменимы, поскольку вводят дополнительные структуры: эти дополнительные структуры могут быть неизморфны в зависимости от способа введения, а сами пространства, на которых они введены, - по-прежнему изоморфны.

Алгебраические аргументы здесь не являются каким-либо внешним и дополнительным обстоятельством. Алгебраическая структура квадратичной формы, которой и определяется сигнатура векторного пространства, является внутренним (а не привнесенным извне) свойством векторного пространства. Следуя требованию Pphantomа, привожу литературу:
C. Chevalley, The Algebraic Theory of Spinors. Columbia University Press, New York, 1954.
P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
А также вот эту статью
http://arxiv.org/pdf/math-ph/0003041.pdf
Что еще хочется добавить. С точки зрения математика-алгебраиста вращение Вика - это трюк, не имеющий серьезного алгебраического обоснования. С точки зрения физика-теоретика это вполне законная операция.

Поэтому только четыре с плюсом.

[Pphantom]

Ну что ж, подведем итоги. Тема находится в физическом разделе, посему замечания о математической строгости тех или иных выводов уместны, но не в такой форме. Явно сформулированного определения от одного из участников конфликта я так и не увидел.

Посему: V_V_V - предупреждение за троллинг.

[Утундрий]

V_V_V в сообщении #977260 писал(а):

Алгебраическая структура квадратичной формы, которой и определяется сигнатура векторного пространства, является внутренним (а не привнесенным извне) свойством векторного пространства.

Нет в линейном (векторном) пространстве никакой квадратичной формы.

[Утундрий]

Кто-нибудь нашёл аксиально симметричное решение? А то я, честно говоря, затупил.