2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение02.02.2015, 14:32 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Докажите, что при $ab + bc + ac = 1$

$\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geqslant 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Вероятно, надо использовать соотношения $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{abc}$
или $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2$
Только вот неясно как

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 00:11 


24/12/13
353
$\sqrt{a+\frac{1}{a}}\ge \sqrt b+ \sqrt c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 02:25 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Вы намекаете на то, что $\sqrt{2} \geqslant \sqrt{b} + \sqrt{c}$ ?
Но это же не очевидно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 03:23 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
Нет, нужно доказать написанное неравенство и затем сложить его с двумя аналогичными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 03:34 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
nnosipov в сообщении #972900 писал(а):
Нет, нужно доказать написанное неравенство и затем сложить его с двумя аналогичными.


Это понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 06:53 


25/12/13
71
Когда равенство получается?? Я думаю должно быть $ab+bc+ca=3$ ?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 06:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
SomePupil в сообщении #972510 писал(а):
Вероятно, надо использовать соотношения $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{abc}$

$$a+\frac1a=b+c+2 \cdot \frac{a+\frac{bc}{a}}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 10:15 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
SomePupil в сообщении #972510 писал(а):
Докажите, что при $ab + bc + ac = 1$

$\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geqslant 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$


Для положительных $a$, $b$ и $c$ получаем:
$\sum\limits_{cyc}\sqrt{a + \frac{1}{a}}=\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{a}}\geq\sum\limits_{cyc}\frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\geq2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 11:44 


07/11/12
137
rightways в сообщении #972759 писал(а):
$\sqrt{a+\frac{1}{a}}\ge \sqrt b+ \sqrt c$

$\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$ возводим в квадрат $a^2+1\ge ab+ac+2a \sqrt{bc}$ откуда с учетом заданного равенства $a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}$, которое выполняется в силу неравенства между арифметическим и геометрическим средними. Аналогично получаем два других варианта, которые можно сложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство из регионалки ВОШ 2015
Сообщение03.02.2015, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

matidiot в сообщении #972962 писал(а):
$a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}$, которое выполняется в силу неравенства между арифметическим и геометрическим средними.

При виде этого первыми были ассоциации не с доказательствами заслуженных чуть выше, а с задачкой на одно действие, где нужно было подогреть чайник с водой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group