Неравенство из регионалки ВОШ 2015

[SomePupil]

Докажите, что при $ab + bc + ac = 1$

$\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geqslant 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Вероятно, надо использовать соотношения $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{abc}$
или $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2$
Только вот неясно как

[rightways]

$\sqrt{a+\frac{1}{a}}\ge \sqrt b+ \sqrt c$

[SomePupil]

Вы намекаете на то, что $\sqrt{2} \geqslant \sqrt{b} + \sqrt{c}$ ?
Но это же не очевидно...

[nnosipov]

Нет, нужно доказать написанное неравенство и затем сложить его с двумя аналогичными.

[SomePupil]

nnosipov в сообщении #972900 писал(а):

Нет, нужно доказать написанное неравенство и затем сложить его с двумя аналогичными.

Это понятно

[fibonacci]

Когда равенство получается?? Я думаю должно быть $ab+bc+ca=3$ ?!

[TOTAL]

SomePupil в сообщении #972510 писал(а):

Вероятно, надо использовать соотношения $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{1}{abc}$

$$a+\frac1a=b+c+2 \cdot \frac{a+\frac{bc}{a}}{2}$$

[arqady]

SomePupil в сообщении #972510 писал(а):

Докажите, что при $ab + bc + ac = 1$

$\sqrt{a + \frac{1}{a}} + \sqrt{b + \frac{1}{b}} + \sqrt{c + \frac{1}{c}} \geqslant 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Для положительных $a$, $b$ и $c$ получаем:
$\sum\limits_{cyc}\sqrt{a + \frac{1}{a}}=\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{(a+b)(a+c)}{a}}\geq\sum\limits_{cyc}\frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\geq2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$.

[matidiot]

rightways в сообщении #972759 писал(а):

$\sqrt{a+\frac{1}{a}}\ge \sqrt b+ \sqrt c$

$\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$ возводим в квадрат $a^2+1\ge ab+ac+2a \sqrt{bc}$ откуда с учетом заданного равенства $a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}$, которое выполняется в силу неравенства между арифметическим и геометрическим средними. Аналогично получаем два других варианта, которые можно сложить.

[grizzly]

(Оффтоп)

matidiot в сообщении #972962 писал(а):

$a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}$, которое выполняется в силу неравенства между арифметическим и геометрическим средними.

При виде этого первыми были ассоциации не с доказательствами заслуженных чуть выше, а с задачкой на одно действие, где нужно было подогреть чайник с водой.