Сизиф

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #973585 писал(а):

я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано, но если тут написано, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезических Сизифа на плоскость ,будут прямыми, то это неверно.

Это верно для геодезических одновременно являющихся линиями наискорейшего спуска/подъема, поскольку тогда давление будет $mg \cos(\beta)$ где $\tan(\beta)=|\nabla z|$, и умножая на $k$ и $ds$ мы получаем $kmg ds'$ где $ds'=\cos(\beta)ds $ проекция на $xy$.

Так что эта задача действительно имеет простое неверное решение. Но для описанных мной горы и траектории тяжесть вносит положительный вклад (работа от начальной точки вверх до вершины и затем вниз до точки, с которой начинается скатывание)

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #973535 писал(а):

На самом деле весь анализ выше предполагает что склоны достаточно пологи. Если шар или колесо само может катиться вниз то у Сизифа нет возможности аккумулировать высвобожденную энергию, т.е. работа на данном участке будет нулевая, а не отрицательная

да, согласен с этим замечанием, обычные двусмысленности для таких задач, чью работу считаем? поля или того, кто тащит частицу в этом поле

-- Ср фев 04, 2015 18:26:14 --

вот что с минимумом у Вашего функционала это вопрос.

-- Ср фев 04, 2015 18:29:15 --

у Вас там кстати формула по-странному написана

-- Ср фев 04, 2015 18:37:11 --

хотя наверное доказать существование минимума не очень сложно

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #973585 писал(а):

я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано

Это грустно. И при этом вы берётесь возражать.

-- 04.02.2015 19:04:26 --

Red_Herring в сообщении #973595 писал(а):

Это верно для геодезических одновременно являющихся линиями наискорейшего спуска/подъема

А если не только?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #973635 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #973585 писал(а):

я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано

Это грустно. И при этом вы берётесь возражать.

ну ведь вам уже и второй человек подтвердил, что утверждение верно лишь для очень специального подкласса геодезических. грустно , что вы самостоятельно этого так и не поняли

-- Ср фев 04, 2015 19:07:15 --

Munin в сообщении #973635 писал(а):

А если не только?

беспредметный разговор, у меня пример в котором геодезические заметают плотно области на плоскости ( в проекции) осилите вы этот пример или нет -- другой вопрос

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #973610 писал(а):

у Вас там кстати формула по-странному написана

Да, спасибо, убил интеграл. С минимумом скорее всего будет все в порядке но оптимальная кривая будет состоять из отрезков описанных Вами геодезических и отрезков контролируемого спуска где Сизиф не будет выполнять никакой работы, а только подпирать плечом)

-- 04.02.2015, 11:30 --

Munin
Мы поверили Sicker, а он

Цитата:

Все мозги разбил на части, все извилины заплел

Сила давления равна $mg \cos(\widehat{\mathbf{n},\mathbf{g}})$, gde $\mathbf{n}$—нормаль к поверхности. В то же время путь равен $ds=ds'/\cos(\widehat{\mathbf{g},\mathbf{l}})$, где $ds'$—проекция на $xy$, а $\mathbf{l}$—направление движения. Т.е. работа $km g \cos(\widehat{\mathbf{n},\mathbf{g}})/\cos(\widehat{\mathbf{g},\mathbf{l}}) ds'$. И если $\mathbf{l}$ не направление наибольшего спуска/подъема, то отношение косинусов не 1 (а меньше).

Ну нельзя ему верить, сочиняет много!

[dovlato]

Склоны плавные в одном смысле - всякими центростремительными ускорениями на кривизне склона тут пренебрегают.
В данном случае проекция траектории на плоскость $XOY$ - это действительно прямая.
Но вот для этого потребовалась дорога с горизонтальными образующими. На произвольном склоне это, конечно, не так - там будут те самые "геодезические".
Если кому-то любопытно, могу показать - почему.
Red Herrig: Я специально упростил задачу, учитывая только работу на преодоление силы сухого трения .
И вот в этом специфическом смысле оказывается, что в Вашей модели параболоида дорога пойдёт через его вершину,
как бы высок он ни был. Предполагается, что экипаж не отрывается от поверхности - это раз, и что он может с разгону
въезжать на последующий склон (хитроумный Сизиф обожает кататься; а когда тележка останавливается,
он соскакивает, не давая ей катиться в обратную сторону))).

[Red_Herring]

dovlato в сообщении #973707 писал(а):

И вот в этом специфическом смысле оказывается, что в Вашей модели параболоида дорога пойдёт через его вершину,
как бы высок он ни был.

Ну если боги кого хотят наказать—оно лишают его разума.

(Оффтоп)

Вы сформулировали интересную задачу, спасибо. Но, это уже не Ваша задача, она сама по себе. И ей плевать, что Вы там имели в виду. Такое бывает довольно часто—и это признак интересной задачи—она обретает свою жизнь.

[dovlato]

Я честно старался быть доходчивым. Ну извините, с Вами не вышло.
Всё, что вы ту понаписали, я продумал ранее. Помимо того, до чего вы ещё не дошли.
Вы тут недавно, а народ знает, что я, ес-нно, не всегда прав. Но никогда по-бабьи не болтлив.
Повторяю: коли кому любопытно, представлю доказательства.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #973639 писал(а):

Сила давления равна $mg \cos(\widehat{\mathbf{n},\mathbf{g}})$, gde $\mathbf{n}$—нормаль к поверхности. В то же время путь равен $ds=ds'/\cos(\widehat{\mathbf{g},\mathbf{l}})$, где $ds'$—проекция на $xy$, а $\mathbf{l}$—направление движения. Т.е. работа $km g \cos(\widehat{\mathbf{n},\mathbf{g}})/\cos(\widehat{\mathbf{g},\mathbf{l}}) ds'$. И если $\mathbf{l}$ не направление наибольшего спуска/подъема, то отношение косинусов не 1 (а меньше).

Ну нельзя ему верить, сочиняет много!

Я считал в уме, и у меня получилось в обеих частях $\cos(\widehat{\mathbf{g},\mathbf{l}}).$ Признаю, ошибся.

Однако новая задача dovlato с "шоссейными дорогами" исправляет этот косинус.

[dovlato]

Хотелось бы чего-нибудь поестественнее этого шоссе..ну вот не сподобился.

[Oleg Zubelevich]

(динамика геодезических)

В стандартных цилиндрических координатах $(z,r,\psi)$ рассмотрим поверхность вращения, заданную уравнением $z=z(r)$, вектор $\overline g$ направлен вдоль оси $z$. Тогда лагранжиан задачи о геодезических Сизифа имеет вид (в координатах $r,\psi$)

$$L=\frac{1}{2}\Big(\dot r^2+\frac{r^2\dot\psi^2}{1+(z')^2}\Big).$$

Очевиден циклический интеграл:

$$p=\frac{\partial L}{\partial\dot \psi}=\frac{r^2\dot\psi}{1+(z')^2}.$$

Это был бы интеграл площадей, еслиб не знаменатель
Соответственно, приведеный потенциал имеет вид

$$V_p(r)=\frac{p^2}{2}\frac{1+(z')^2}{r^2}.$$

Если в качестве поверхности взять $z=1/(1+r^8)$, график потенциала выглядит так

(по горизонтали $r$; по вертикали $V_p,\quad p\ne 0$)
Минимум функции соответствует устойчивому стационарному вращению т.е. замкнутой геодезической, вокруг нее колеблятся геодезические, в типичном случае, заметая всюду плотно кольца в проекции на горизонтальную плоскость. Максимум соответствует неустойчивой замкнутой геодезической, в фазовом пространстве к ней примыкают асимптотические поверхности, уходящие на бесконечность и двоякоасимптотические поверхности.

[dovlato]

Крррасота.. Если бы я лучше владел аппаратом, то интересно было бы исследовать
движение для разных зависимостей $z=z(r)$. Скажем, условие существования устойчивых орбит.

[Oleg Zubelevich]

Есть такое ощущение, что мы прохлопали нечто существенное. А именно, Сизиф должен тащить камень неким квазистатическим способом с очень маленьким ускорением. В противном случае, силу нормальной реакции надо будет выражать через ускорение камня, и значит работа силы трения будет зависеть еще и от второй квадратичной формы поверхности, и это уже не будет задачей о геодезических

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #986042 писал(а):

Есть такое ощущение, что мы прохлопали нечто существенное. А именно, Сизиф должен тащить камень неким квазистатическим способом с очень маленьким ускорением

Если это так, то задача резко меняется: Сизиф должен препятствовать ускорению камня на спусках; тем самым камень не накапливает кинетической энергии и работа против силы тяготения не м.б. исключена.

Сравним две картинки:

\begin{tikzpicture} \draw (-1,0) parabola bend (1,1) (3,0); \fill (-1,0) circle (.05) node[below] {Start}; \fill (3,0) circle (.05) node[below] {Finish}; \draw (1,1) circle (.05) node[above] {Top}; \end{tikzpicture}\qquad \begin{tikzpicture} \draw (-1,0) parabola bend (1,-1) (3,0); \fill (-1,0) circle (.05) node[above] {Start}; \fill (3,0) circle (.05) node[above] {Finish}; \draw (1,-1) circle (.05) node[below] {Bottom}; \end{tikzpicture}

Если раньше мы не могли исключить эту работу только для левой картинки, т.к. на финише кинетическая энергия отнюдь не шла в зачёт, то теперь и для правой будет то же самое. И для нижней

\begin{tikzpicture} \draw (-1,0) parabola bend (1,-1) (3,0) parabola bend (5,1) (7,0); \fill (-1,0) circle (.05) node[above] {Start}; \fill (7,0) circle (.05) node[below] {Finish}; \end{tikzpicture}

[Oleg Zubelevich]

Камень движется в соответствие с уравнением

$$m\overline a=\overline N-\gamma|\overline N|\frac{\overline v}{|\overline v|}+\overline S+m\overline g,$$

где $N$ -- нормальная реакция, $S$ -- сила Сизифа.
Свести задачу к геодезическим нам мешает ускорение в левой части. На самом деле не очень мешает. Двайте считать, что Сизиф тащит камень очень плавно $\overline S=\overline S(\varepsilon t)$. Тогда в новом времени $\tau=\varepsilon t$ уравнение приобретает вид

$$\varepsilon^2m\overline a=\overline N-\gamma|\overline N|\frac{\overline v}{|\overline v|}+\overline S+m\overline g.$$

Выбрасываем левую часть за малостью.

-- Вс мар 08, 2015 11:54:46 --

$\varepsilon$ -- малый параметр