Метрика пространства-времени

[Munin]

Я покажу на примере. Может быть, что-то поймёте.

Итак, рассмотрим сферу радиуса $R.$ Поместим её в трёхмерное евклидово пространство $x,y,z,$ с центром в начале координат, тогда её будет задавать уравнение

$$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

Введём на сфере внутренние координаты: широту $\varphi$ и долготу $\lambda.$ Тогда преобразования от трёхмерных ко внутренним координатам и обратно можно записать в виде:

$$\begin{cases}x=R\cos\varphi\cos\lambda\\y=R\cos\varphi\sin\lambda\\z=R\sin\varphi\\\end{cases}$$

$$\begin{cases}\lambda=\arctg_2\dfrac{y}{x}\\\varphi=\arctg\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\end{cases}$$

где в последней системе подразумевается, что точка $x,y,z$ лежит на сфере, а обозначение $\arctg_2\dfrac{\cdots}{\cdots}$ неформально подразумевает функцию, правильно выбирающую четверть по знакам координат. Отсюда можно записать при перемещении точки по сфере

$$\begin{cases}dx=-R\sin\varphi\cos\lambda\,d\varphi-R\cos\varphi\sin\lambda\,d\lambda\\dy=-R\sin\varphi\sin\lambda\,d\varphi+R\cos\varphi\cos\lambda\,d\lambda\\dz=R\cos\varphi\,d\varphi\\\end{cases}$$

Теперь возьмём метрику исходного трёхмерного пространства, и подставим в неё эти выражения:

$$\begin{gathered}dl^2=dx^2+dy^2+dz^2={}\\{}=R^2(\sin^2\varphi\cos^2\lambda\,d\varphi^2+2\sin\varphi\cos\varphi\sin\lambda\cos\lambda\,d\varphi\,d\lambda+\cos^2\varphi\sin^2\lambda\,d\lambda^2)+{}\\{}+R^2(\sin^2\varphi\sin^2\lambda\,d\varphi^2-2\sin\varphi\cos\varphi\sin\lambda\cos\lambda\,d\varphi\,d\lambda+\cos^2\varphi\cos^2\lambda\,d\lambda^2)+{}\\{}+R^2\cos^2\varphi\,d\varphi^2={}\\{}=R^2(d\varphi^2+\cos^2\varphi\,d\lambda^2)\\\end{gathered}$$

Вот это последнее выражение и есть результат, оно называется метрикой или метрическим тензором на сфере, и так оно выглядит, выражается, рассчитывается и используется. Кроме того, ту же самую формулу можно записать в виде матрицы, это эквивалентно:

$$dl^2=\sum\limits_{i=1}^2\sum\limits_{j=1}^2 g_{ij}dx^i dx^j,\qquad x^i=\begin{pmatrix}\varphi\\\lambda\end{pmatrix},\qquad dx^i=\begin{pmatrix}d\varphi\\d\lambda\end{pmatrix},\qquad g_{ij}=\begin{pmatrix}R^2&0\\0&R^2\cos^2\varphi\end{pmatrix},$$

причём в ОТО принято записывать эту формулу без знака суммирования, подразумевая, что читатель сам его себе представит в нужном месте: $dl^2=g_{ij}dx^i dx^j.$

[Geen]

Rentgenium-112 в сообщении #972225 писал(а):

Цитата:

Тем более, что человек в 10 классе.

То что я на самом деле в 7 классе не мешает мне понять что такое метрический тензор и успешно по разбираться в тензорном исчислении.

Тензорное исчисление без матанализа, линала и диффуров не более чем красивая игрушка, если мы говорим об ОТО.
Так что, на самом деле, не важно в каком именно Вы классе - лучше скажите что Вы знаете по этим разделам.

provincialka в сообщении #972228 писал(а):

Для всего нужен навык.

Совершенно согласен - самостоятельное решение задач неотъемлемая часть приобретения "понимания". (печально, что сам я это по-настоящему понял уже после окончания института ).

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #972207 писал(а):

Я в этой теме вообще в растерянности: что можно объяснить человеку, который упоминает "карты", "атлас", символ(ы) Кристоффеля и т.п. , а сам с дифференциалами не разобрался и собирается "вычислять" координаты? Какой-то гигантский, непреодолимый методический зазор.

Ну, в школе я тоже любил сильно вперёд забегать. Жаль мне тогда некому было подсказать как это делать правильно.

[Rentgenium-112]

Не совсем то, что надо, но всё равно очень полезно. Спасибо.

-- 01.02.2015, 19:22 --

Вы написали $arctg_2{y/x}$ - почему 2 внизу?

[Утундрий]

Rentgenium-112 в сообщении #972294 писал(а):

почему 2 внизу?

Ну как же! Потому что двойка - единственное чётное простое число. Это же очевидно.

[Rentgenium-112]

Цитата:

Цитата:

почему 2 внизу?

Ну как же! Потому что двойка - единственное чётное простое число. Это же очевидно.

Да причём тут это. Ведь это квадрат.
Munin, Вы квадрат имели ввиду? Это опечатка?

[Утундрий]

Квандрант там быть никак не могёт. Количество аргументов ещё туда-сюда, но не квандрант.

[Munin]

Rentgenium-112 в сообщении #972294 писал(а):

Вы написали $arctg_2{y/x}$ - почему 2 внизу?

Я же это пояснил в тексте:

Munin в сообщении #972237 писал(а):

а обозначение $\arctg_2\dfrac{\cdots}{\cdots}$ неформально подразумевает функцию, правильно выбирающую четверть по знакам координат.

Если хотите более формально, то назовём функцией $\arctg_2\dfrac{\cdots}{\cdots}$

$$\arctg_2(x,y)\equiv\arctg_2\dfrac{y}{x}=\begin{cases}\arctg\dfrac{y}{x}+\pi&x<0,\quad y\geqslant 0\\+\pi/2&x=0,\quad y\geqslant 0\\\arctg\dfrac{y}{x}&x>0\\-\pi/2&x=0,\quad y<0\\\arctg\dfrac{y}{x}-\pi&x<0,\quad y<0\\\end{cases}$$

Функция такого вида часто встречается в компьютерных вычислениях, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Atan2 . Ещё вариант определения: $\arctg_2\dfrac{y}{x}=\operatorname{arg}(x+iy).$

Судя по вашим вопросам, вы не имеете привычки читать внимательно текст.

[provincialka]

Munin в сообщении #972324 писал(а):

Судя по вашим вопросам, вы не имеете привычки читать внимательно текст.

А может, просто не сталкивался с этой неприятной проблемой, что аргумент не выражается простой формулой. Пока человек не видит проблемы, он не заметит и ее решение.

[Rentgenium-112]

Цитата:

Судя по вашим вопросам, вы не имеете привычки читать внимательно текст.

Это не так, но в это раз я с Вами соглашусь.

Цитата:

А может, просто не сталкивался с этой неприятной проблемой, что аргумент не выражается простой формулой.

Да.

[Munin]

Сделаем проще.

Будем рассматривать полусферу, то есть часть сферы при $x>0.$ Тогда там можно поставить обычный арктангенс:

$$\begin{cases}\lambda=\arctg\dfrac{y}{x}\\\varphi=\arctg\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\end{cases}$$

Все остальные формулы будут те же самые.

-- 01.02.2015 21:08:12 --

Rentgenium-112 в сообщении #972333 писал(а):

Это не так, но в это раз я с Вами соглашусь.

По крайней мере, моих пояснений было достаточно, чтобы понять, что это не квадрат.

[Rentgenium-112]

После 5 минут чтения той книги, что мне посоветовал Munin ("Гравитация и космология") я кажется понял как можно было бы выразить метрику пространства-времени:
$g_{ij}=\eta_{\alpha&\beta}$
Кто знает, думаю поймёт чему равна $\eta_{\alpha&\beta}$ в зависимости от $\alpha$ и $\beta$.

-- 02.02.2015, 14:52 --

Хотя наверное грамотнее было бы написать в зависимости от $i$ и $j$.

[Munin]

Rentgenium-112 в сообщении #972524 писал(а):

я кажется понял как можно было бы выразить метрику пространства-времени:
$g_{ij}=\eta_{\alpha&\beta}$

Можно, но только в случае, если эта метрика плоская. В СТО считается, что так и есть. В ОТО выясняется, что гравитационное поле меняет ситуацию, и $g_{\mu\nu}\ne\eta_{\mu\nu}.$

Технически, формула неправильная: свободные индексы должны быть одинаковыми по обе стороны, и надо придерживаться соглашения о значении индексов. Обычно (и у Вайнберга) греческие индексы пробегают четыре пространственно-временных значения, а латинские - три чисто пространственных. В Ландау-Лифшице, например, наоборот.

Но есть ещё одна традиция, сложившаяся уже несколько позже написания книги Вайнберга: выбирать греческие индексы из середины алфавита, в порядке примерно $(\lambda),\mu,\nu,\rho,\sigma,\tau\ldots$ Вайнберг где-то пишет так, а где-то - $\alpha,\beta\ldots$

[Rentgenium-112]

Цитата:

Технически, формула неправильная

$g_{ij}=\eta_{ij}$
А так будет правильнее?

[Munin]

Правильнее, но надо оговорить, какое соглашение об индексах вы используете.

-- 02.02.2015 16:05:05 --

И кстати, а выпишите-ка матрицу $\eta_{ij}$ явно.

[Rentgenium-112]

$$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

-- 02.02.2015, 16:53 --

В LaTex Помощнике не хватило не много.
Запишу по другому:
1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1