Сравнение по модулю 2^k

[qx87]

Мне нужно в общем виде решить сравнение $ax^2 + bx + c \equiv 0 \pmod {2^k}$.

Я уже умею его решать при $k =1$. Здесь на стр. 59 приведена теорема для моего случая:

В ней нет ограничения на нечётность $p$ (как во многих других теоремах из этой книги), но для $p = 2$ она не работает. Вот пример:
$\\ f(x) = x^2 + 90x - 16 \\ f'(x) = 2x + 90 $

По модулю 2 имеем один корень: 0. $f(0) = -16 \equiv 0 \pmod 2; \; f'(0) \equiv 0 \pmod 2; \beta = 4$.

Однако решая сравнение по модулю 4 имеем не один, а два корня: 0 и 2, по модулю 8: 0 и 6, по модулю 16: 0 и 6. И более того, даже при $\alpha = 5 > \beta$ по модулю 32 имеем два корня: -2 и 2. Дальше я не проверял, ибо непорядок уже налицо. А все эти корни нашёл вручную или подбором.

Как же всё-таки решать такие сравнения?

[ex-math]

Выделите полный квадрат для начала.
А теория сравнений $x^2\equiv a(\mathrm{mod}2^k)$ изложена, например, в книге Виноградова "Основы теории чисел". Или у Бухштаба можно посмотреть.

[qx87]

Спасибо, разобрался!