2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множества
Сообщение28.01.2015, 05:40 


26/01/15
10
Простая задача: найти все множества $A$ и $B$, для которых выполняется: $A \times B=B \times A$.
Ну понятное дело что это выполняется когда $A=B$, а вот как это доказать?
Решение: пусть $(a,b) \in A \times B$, тогда $a \in A$, $b \in B$. Т. к. $A \times B=B \times A$, то $a \in B$ и $b \in A$, следовательно $a \in A \cap B$, $b \in A \cap B$, тупик :shock:

Тоже вроде не сложная, но не совсем понятная: Пусть $A \subset X$, $B \subset Y$, выразить $\overline {A \times B}$ через $A, \overline {A}, B, \overline {B}$.
Тоже очевидно что $\overline {A \times B}=A \times \overline {B}+\overline {A} \times B + \overline {A} \times \overline {B}$, но доказать не получается, не знаю как подступиться :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 07:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
kojirh в сообщении #969770 писал(а):
$a \in A$ ... то $a \in B$
Какой тут квантор? Что это означает? Аналогично
kojirh в сообщении #969770 писал(а):
$b \in B$... то $b \in A$,

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 16:30 


26/01/15
10
provincialka в сообщении #969778 писал(а):
kojirh в сообщении #969770 писал(а):
$a \in A$ ... то $a \in B$
Какой тут квантор? Что это означает? Аналогично
kojirh в сообщении #969770 писал(а):
$b \in B$... то $b \in A$,


Ладно давайте так, первое задание: если $A=B$, то $A \times B=B \times A$ можно переписать как $A^2=A^2$, равенство выполняется. Теперь пусть $A \ne B$, тогда существует $a \in A, a \notin B, b \in B$, тогда $(a,b) \subset A \times B$ и, т. к. $A \times B=B \times A$, то $(a,b) \subset B \times A$ - противоречие

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7979
Hogtown
kojirh в сообщении #970061 писал(а):
Теперь пусть $A \ne B$, тогда существует $a \in A, a \notin B, b \in B$,

Возможная ошибка в самой последней посылке. И кстати в
kojirh в сообщении #970061 писал(а):
$(a,b) \subset A \times B$
$\subset$ замените на $\in$

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
kojirh в сообщении #970061 писал(а):
Ладно давайте так, первое задание:

А вот почему вы на мой вопрос не ответили? Там же все решение уже было, только добавить "для любого".

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 17:52 


26/01/15
10
provincialka в сообщении #970097 писал(а):
kojirh в сообщении #970061 писал(а):
Ладно давайте так, первое задание:

А вот почему вы на мой вопрос не ответили? Там же все решение уже было, только добавить "для любого".


Сам не знаю, автоматически подумал что решение не верно. :-) Окончательное решение вышло такое:
Изображение


Помогите пожалуйста по второй задаче: т. к. $X=A+\overline A$ и $Y=B+\overline B$, то $X \times Y=(A+\overline A) \times (B+\overline B)=A \times B+A \times \overline B+\overline A \times B+\overline A \times \overline B$ $\to$ $\overline {A \times B} = (X \times Y) \backslash (A \times B)=A \times \overline B+\overline A \times B+\overline A \times \overline B$, такое решение подойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7979
Hogtown
Вот теперь верно.

По второй задаче.
1) Каждую задачу следует писать в отдельную тему.
2) Не следует использовать знак $+$ для объединения (используйте $\cup$ \cup)
3) Не стоит использовать знак \bar для дополнения (или по крайней мере оговаривать): он зарезервирован для замыкания; в логике обычно $\neg{A}$, а в ТМ $\complement A$ (\neg и \complement)

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 18:03 


26/01/15
10
Red_Herring в сообщении #970126 писал(а):
Вот теперь верно.

По второй задаче.
1) Каждую задачу следует писать в отдельную тему.
2) Не следует использовать знак $+$ для объединения (используйте $\cup$ \cup)
3) Не стоит использовать знак $\bar{\ }$ для дополнения (или по крайней мере оговаривать): он зарезервирован для замыкания


Хорошо, всё учту, спасибо большое! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение28.01.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3968

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #970126 писал(а):
3) Не стоит использовать знак \bar для дополнения (или по крайней мере оговаривать): он зарезервирован для замыкания; в логике обычно $\neg{A}$, а в ТМ $\complement A$ (\neg и \complement)

Это Вы вероятностникам расскажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение29.01.2015, 18:30 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
kojirh
По-моему вы дважды доказали одно и то же для непустых множеств. Всё можно сделать проще
$\forall(a,b)((a,b) \in A \times B\Rightarrow (a,b) \in B \times A)$
Это значит, что
$\forall a,b((a\in A\Rightarrow a\in B)\wedge(b\in B\Rightarrow b\in A))$
Поэтому в силу произвольности выбора элементов $a$ и $b$
$A\subseteq B$ и $B\subseteq A$ откуда следует равенство множеств.

Зачем вам потребовалось дважды повторять одну мысль - это мне не понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение29.01.2015, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Kras
Я тоже сначала так думала. Но рассуждение становится верным, только если пара $(a, b)$ существует для каждого $a \in A$ (соотв., для каждого $b\in B$). Это требует непустоты второго множества. Если же хотя бы одно из множеств пусто, второе может быть произвольным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества
Сообщение29.01.2015, 19:01 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
А случай, когда произведение пустое, он вообще здесь не разобран. Тут в доказательстве дважды говорится $a\in A, b\in B$. Тут надо помнить, что ни один элемент не принадлежит пустому множеству. Такое же, но более короткое доказательство привёл я.
provincialka в сообщении #970665 писал(а):
Если же хотя бы одно из множеств пусто, второе может быть произвольным.

Да. Тогда получается, что $A \times B=B \times A=\varnothing$. Второе множество уже роли не играет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group