Множества

[kojirh]

Простая задача: найти все множества $A$ и $B$, для которых выполняется: $A \times B=B \times A$.
Ну понятное дело что это выполняется когда $A=B$, а вот как это доказать?
Решение: пусть $(a,b) \in A \times B$, тогда $a \in A$, $b \in B$. Т. к. $A \times B=B \times A$, то $a \in B$ и $b \in A$, следовательно $a \in A \cap B$, $b \in A \cap B$, тупик

Тоже вроде не сложная, но не совсем понятная: Пусть $A \subset X$, $B \subset Y$, выразить $\overline {A \times B}$ через $A, \overline {A}, B, \overline {B}$.
Тоже очевидно что $\overline {A \times B}=A \times \overline {B}+\overline {A} \times B + \overline {A} \times \overline {B}$, но доказать не получается, не знаю как подступиться

[provincialka]

kojirh в сообщении #969770 писал(а):

$a \in A$ ... то $a \in B$

Какой тут квантор? Что это означает? Аналогично

kojirh в сообщении #969770 писал(а):

$b \in B$... то $b \in A$,

[kojirh]

provincialka в сообщении #969778 писал(а):

kojirh в сообщении #969770 писал(а):

$a \in A$ ... то $a \in B$

Какой тут квантор? Что это означает? Аналогично

kojirh в сообщении #969770 писал(а):

$b \in B$... то $b \in A$,

Ладно давайте так, первое задание: если $A=B$, то $A \times B=B \times A$ можно переписать как $A^2=A^2$, равенство выполняется. Теперь пусть $A \ne B$, тогда существует $a \in A, a \notin B, b \in B$, тогда $(a,b) \subset A \times B$ и, т. к. $A \times B=B \times A$, то $(a,b) \subset B \times A$ - противоречие

[Red_Herring]

kojirh в сообщении #970061 писал(а):

Теперь пусть $A \ne B$, тогда существует $a \in A, a \notin B, b \in B$,

Возможная ошибка в самой последней посылке. И кстати в

kojirh в сообщении #970061 писал(а):

$(a,b) \subset A \times B$

$\subset$ замените на $\in$

[provincialka]

kojirh в сообщении #970061 писал(а):

Ладно давайте так, первое задание:

А вот почему вы на мой вопрос не ответили? Там же все решение уже было, только добавить "для любого".

[kojirh]

provincialka в сообщении #970097 писал(а):

kojirh в сообщении #970061 писал(а):

Ладно давайте так, первое задание:

А вот почему вы на мой вопрос не ответили? Там же все решение уже было, только добавить "для любого".

Сам не знаю, автоматически подумал что решение не верно. Окончательное решение вышло такое:



Помогите пожалуйста по второй задаче: т. к. $X=A+\overline A$ и $Y=B+\overline B$, то $X \times Y=(A+\overline A) \times (B+\overline B)=A \times B+A \times \overline B+\overline A \times B+\overline A \times \overline B$ $\to$ $\overline {A \times B} = (X \times Y) \backslash (A \times B)=A \times \overline B+\overline A \times B+\overline A \times \overline B$, такое решение подойдёт?

[Red_Herring]

Вот теперь верно.

По второй задаче.
1) Каждую задачу следует писать в отдельную тему.
2) Не следует использовать знак $+$ для объединения (используйте $\cup$ \cup)
3) Не стоит использовать знак \bar для дополнения (или по крайней мере оговаривать): он зарезервирован для замыкания; в логике обычно $\neg{A}$, а в ТМ $\complement A$ (\neg и \complement)

[kojirh]

Red_Herring в сообщении #970126 писал(а):

Вот теперь верно.

По второй задаче.
1) Каждую задачу следует писать в отдельную тему.
2) Не следует использовать знак $+$ для объединения (используйте $\cup$ \cup)
3) Не стоит использовать знак $\bar{\ }$ для дополнения (или по крайней мере оговаривать): он зарезервирован для замыкания

Хорошо, всё учту, спасибо большое!

[--mS--]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #970126 писал(а):

3) Не стоит использовать знак \bar для дополнения (или по крайней мере оговаривать): он зарезервирован для замыкания; в логике обычно $\neg{A}$, а в ТМ $\complement A$ (\neg и \complement)

Это Вы вероятностникам расскажите.

[Kras]

kojirh
По-моему вы дважды доказали одно и то же для непустых множеств. Всё можно сделать проще
$\forall(a,b)((a,b) \in A \times B\Rightarrow (a,b) \in B \times A)$
Это значит, что
$\forall a,b((a\in A\Rightarrow a\in B)\wedge(b\in B\Rightarrow b\in A))$
Поэтому в силу произвольности выбора элементов $a$ и $b$
$A\subseteq B$ и $B\subseteq A$ откуда следует равенство множеств.

Зачем вам потребовалось дважды повторять одну мысль - это мне не понятно.

[provincialka]

Kras
Я тоже сначала так думала. Но рассуждение становится верным, только если пара $(a, b)$ существует для каждого $a \in A$ (соотв., для каждого $b\in B$). Это требует непустоты второго множества. Если же хотя бы одно из множеств пусто, второе может быть произвольным.

[Kras]

А случай, когда произведение пустое, он вообще здесь не разобран. Тут в доказательстве дважды говорится $a\in A, b\in B$. Тут надо помнить, что ни один элемент не принадлежит пустому множеству. Такое же, но более короткое доказательство привёл я.

provincialka в сообщении #970665 писал(а):

Если же хотя бы одно из множеств пусто, второе может быть произвольным.

Да. Тогда получается, что $A \times B=B \times A=\varnothing$. Второе множество уже роли не играет.