Диофантово уравнение

[veg_nw]

Помогите доказать плз что
${x}^{4}+{y}^{4}-14\,{x}^{2}{y}^{2}={z}^{2}$
не имеет натуральных решеный.

[ИСН]

В сущности, вопрос о том, когда (т.е. верно ли, что никогда) $x^2+y^2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетом $4xy$. Это должно иметь какое-то отношение к тому, что гипотенузой другого треугольника - с катетом $2xy$ - она является как раз всегда. Вот только какое...

[nnosipov]

veg_nw в сообщении #968450 писал(а):

Помогите доказать плз что
${x}^{4}+{y}^{4}-14\,{x}^{2}{y}^{2}={z}^{2}$
не имеет натуральных решеный.

Это уравнение можно свести к уравнению $a^4+a^2b^2+b^4=c^2$ (подумайте как). Неразрешимость последнего уравнения доказывается методом спуска. Если не получится это сделать самостоятельно, см. решение задачи М1958 в "Задачнике Кванта".