Несингулярная метрика для сферического тела

[vicont]

Я тут на досуге, переругиваясь с Someone и рисуя картинки для Munin, получил несингулярную метрику для невращающегося сферического тела, вакуумное решение.
Выглядит следующим образом:
$ds^2=-dW^2dN^2+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$
Здесь $r$ по-прежнему определяется из условия, что $4\pi r^2$ - площадь сферы, но теперь $r$ следует рассматривать как функцию от $W$ и $N$:
$W-N=4M (\sqrt{(r/2M-1)r/2M}+\ln{\sqrt{r/2M-1}+\sqrt{r/2M}})+2\pi M$ при $r\geqslant 2M$
$W-N=-4M(\arccos{\sqrt{r/2M}}+\sqrt{(1-r/2M)r/2M})+2\pi M$ при $r<2M
Преобразования координат от координат Шварцшильда:
при $r\geqslant 2M$
$W+N=2(\sqrt{1-2M/r})t$
$W-N=4M (\sqrt{(r/2M-1)r/2M}+\ln{\sqrt{r/2M-1}+\sqrt{r/2M}})+2\pi M$
при $r<2M
$W+N=2(\sqrt{2M/r-1})t$
$W-N=-4M(\arccos{\sqrt{r/2M}}+\sqrt{(1-r/2M)r/2M})+2\pi M$


И как вам такая метрика?

[EvilPhysicist]

vicont в сообщении #966572 писал(а):

$ds^2=-dW^2dN^2+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$

Метрика это квадратичная форма, а у вас тут $dW^2~ dN^2$ четвертого порядка. Так что то, что вы написали, даже не метрика.

[vicont]

EvilPhysicist в сообщении #966652 писал(а):

Метрика это квадратичная форма, а у вас тут $dW^2~ dN^2$ четвертого порядка. Так что то, что вы написали, даже не метрика.

Черт... Опечатался. разумеется там квадратов нет. Должно быть:
$ds^2=-dWdN+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$

[12d3]

Чтой-то при $r=2M$ пределы $W-N$ слева и справа не совпадают.

[vicont]

Еще одна опечатка. Вобщем, должно быть так:

vicont в сообщении #966572 писал(а):

Выглядит следующим образом:
$ds^2=-dWdN+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$
Здесь $r$ по-прежнему определяется из условия, что $4\pi r^2$ - площадь сферы, но теперь $r$ следует рассматривать как функцию от $W$ и $N$:
$W-N=4M (\sqrt{(r/2M-1)r/2M}+\ln{(\sqrt{r/2M-1}+\sqrt{r/2M})})+2\pi M$ при $r\geqslant 2M$
$W-N=-4M(\arccos{\sqrt{r/2M}}+\sqrt{(1-r/2M)r/2M})+2\pi M$ при $r<2M$
Преобразования координат от координат Шварцшильда:
при $r\geqslant 2M$
$W+N=2(\sqrt{1-2M/r})t$
$W-N=4M (\sqrt{(r/2M-1)r/2M}+\ln{(\sqrt{r/2M-1}+\sqrt{r/2M})})+2\pi M$
при $r<2M$
$W+N=2(\sqrt{2M/r-1})t$
$W-N=-4M(\arccos{\sqrt{r/2M}}+\sqrt{(1-r/2M)r/2M})+2\pi M$

[12d3]

Все равно обсчитались.
Обозначу страшные функции покороче.
$W+N=f(r)t$
$W-N=g(r)$
$-dWdN=\frac14\left((dW-dN)^2-(dW+dN)^2\right)=\frac14\left(dg(r)^2-(f'(r)tdr+f(r)dt)^2\right)=\frac14\left(g'(r)^2dr^2-f'(r)^2t^2dr^2-2f(r)f'(r)t\,dr\,dt-f(r)^2dt^2\right)$
Остается слагаемое с $drdt$, а его в метрике Шваршильда нет.

[vicont]

12d3 в сообщении #967028 писал(а):

Остается слагаемое с $drdt$, а его в метрике Шваршильда нет.

Берем метрику Шварцшильда
$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+(1-2M/r)^-^1dr^2+r^2(d \Theta ^2+\sin^2 \Theta d \varphi ^2)$
Показания стандартных часов связаны с показаниями координатных часов так:
$dT=\sqrt{1-2M/r}dt$, отсюда $T=\sqrt{1-2M/r}t$
Далее $W+N=2(\sqrt{1-2M/r})t=2T$

$dW+dN=2dT,dW-dN=2dr/\sqrt{1-2M/r}$
$-(dW+dN)^2+(dW-dN)^2=-2dWdN=-2dT^2+2dr^2/(1-2M/r)$
А поскольку $dT^2=(1-2M/r)dt^2$
То в результате получаем метрику Шварцшильда.
Это при $r\geqslant 2M$ разумеется.

[12d3]

vicont в сообщении #967039 писал(а):

отсюда $T=\sqrt{1-2M/r}t$

Нет, отсюда это не следует. Вы хорошо знаете, что такое полный дифференциал и частные производные?

[schekn]

12d3 в сообщении #967028 писал(а):

Остается слагаемое с $drdt$, а его в метрике Шваршильда нет.

В метрике Шварцшильда возможно появление перекрестного члена в особых координатах, например Пенлеве.

[12d3]

schekn в сообщении #967086 писал(а):

В метрике Шварцшильда возможно появление перекрестного члена в особых координатах, например Пенлеве.

Да, пардон, следует читать "в координатах Шварцшильда".

[vicont]

12d3 в сообщении #967045 писал(а):

Нет, отсюда это не следует. Вы хорошо знаете, что такое полный дифференциал и частные производные?

Следует.
В данном случае это замена одного базиса из четырех векторов на другой базис из четырех векторов. Нарисуйте всё в виде векторов, тогда всё станет понятно.
Векторa $\vec{t}$ и $\vec{r}$ ортогональны. Вектор $\vec{T}$ раскладывается по векторам $\vec{t}$ и $\vec{r}$ следующим образом: $\vec{T}=\sqrt{1-2M/r}\vec{t}+ 0\vec{r}$, отсюда вектор $\vec{dT}=\sqrt{1-2M/r}\vec{dt}+0\vec{dr}$
С другой стороны вектор $\vec{T}$ разлагается по векторам $\vec{W}$ и $\vec{N}$ следующим образом:$\vec{T}=(\vec{W}+\vec{N})/2$, отсюда $\vec{dT}=(\vec{dW}+\vec{dN})/2$ квадрат длины $\vec{dT}^2=(\vec{dW}+\vec{dV})^2/4=((1-2M/r)\vec{dt})^2+(0\vec{dr})^2=(1-2M/r)\vec{dt}^2$

12d3 в сообщении #967028 писал(а):

Остается слагаемое с $drdt$, а его в метрике Шваршильда нет.

Если у вас осталось это слагаемое, то вы явно где-то нахомутали, поскольку скалярное произведение двух ортогональных векторов равно $0$.

[Geen]

vicont в сообщении #967410 писал(а):

Следует

При замене переменных следует писать так: $r(R,T),t(R,T)$ - меньше ошибок будет.

[12d3]

vicont в сообщении #967410 писал(а):

Векторa $\vec{t}$ и $\vec{r}$ ортогональны.

Еще недавно $t$ и $r$ у вас были координатами, а теперь вдруг стали векторами. Определитесь, пожалуйста.

[Утундрий]

Ещё немного подрастут и станут матрицами...

[vicont]

12d3 в сообщении #967789 писал(а):

Еще недавно $t$ и $r$ у вас были координатами, а теперь вдруг стали векторами. Определитесь, пожалуйста.

Вы векторную алгебру почитайте. Может после этого перестанете такие идиотизмы выдавать.

Хорошо. Попробую объяснить по другому.
В Шварцшильдовской СК координаты двух событий $L_1(t,r.\Theta,\varphi)$ и $L_2(t+dt,r.\Theta,\varphi)$
Интервал между ними $ds^2=-(1-2M/r)dt^2$
Переходим в другую СК, в которой координаты этих двух событий $L_1(T,r.\Theta,\varphi)$ и $L_2(T+dT,r.\Theta,\varphi)$, которую выбираем так, чтобы $ds^2=-dT^2=-(1-2M/r)dt^2$
Отсюда $dT=\sqrt{1-2M/r}dt$. Интегрируем и получаем $T=\sqrt{1-2M/r}t$
Переходим в третью СК, в которой координаты этих двух событий $L_1(W,N.\Theta,\varphi)$ и $L_2(W+dW,N+dN.\Theta,\varphi)$, которую выбираем так, чтобы $ds^2=-(dW+dN)^2=dT^2$.
Отсюда $dW+dN=dT$, после интегрирования $W+N=T$
В результате $W+N=\sqrt{1-2M/r}t$ и $(dW+dN)^2=(1-2M/r)dt^2$, а не той фигне, которая у вас получилась.

Утундрий в сообщении #967848 писал(а):

Ещё немного подрастут и станут матрицами...

У нас на Украине есть поговорка: "Раденький, що дурненький".
Я вот думаю, если бы я употребил эту поговорку по отношению к вам, Утундрий, модераторы сочли бы это нарушением правил форума?
Нет, если это нарушение, то я так делать, разумеется, не буду..... Хотя и очень хочется....