Задача Дирихле в полосе

[gammaker]

Есть такая задача
$\triangle u=0$ на $0<y<\pi$
$u_{y=0}=\theta(x)$
$u_{y=\pi}=0$

Никогда на семинарах не решали задачи в полосе. Только в шаре и круге решали. Примера решения нигде найти не удалось. В задачнике я нашёл формулу для функции Грина, если известно конформное преобразование области в единичный круг:
$G(z, \zeta)=\frac{1}{2\pi}\ln \frac{1}{|\omega(z, \theta)|}$
$\omega=\frac{w(z)-w(\zeta)}{1-w(z)w(\zeta)}$

Я попробовал составить конформное преобразование полосы в единичный круг, получилось так:
$w=\frac{1+ie^{iz}}{1-ie^{iz}}$

Потом я подставил все эти формулы и получил такую функцию Грина:
$G(z, \zeta)=\frac{1}{2\pi}\ln|\frac{e^{i\zeta}+e^{iz}}{e^{i\zeta}-e^{iz}}|$
А вот дальше уже проблема. Я не знаю, как от этого всего брать производную по нормали и стоит ли вообще это делать - вдруг я всё неправильно делаю? Нас на УМФ не учили применять ТФКП для решения задач, это вообще в следующем семестре должно быть.

[Red_Herring]

gammaker в сообщении #965006 писал(а):

Нас на УМФ не учили применять ТФКП для решения задач, это вообще в следующем семестре должно быть.

ОК: без ТФКП.

Сделайте преобразование Фурье по $x$. Кстати, никакой производной по нормали нет, а есть значения $u$ на берегах полосы.

Примечание: решение этой задачи неединственно, но преобразование Фурье отсеивает растущие на бесконечности.

[gammaker]

Преобразование Фурье чего надо сделать? Какой функции?
И почему производной по нормали нет? Там же интеграл по границе от произведения значения на границе и производной от функции Грина.

[Brukvalub]

Метод преобразования Фурье для дедушки Лапласа уже здесь обсуждался: http://dxdy.ru/topic18511.html

[Red_Herring]

Вам не надо строить ф. Грина, а преобразовать по Ф. по $x$ все, что есть: $u$, уравнение, гр. условия

[gammaker]

Не понимаю, что даст здесь преобразование Фурье? Первый раз слышу о таком методе.
Вот я написал преобразование для $u$ и $\theta$:
$u(\omega, y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}u(x,y)e^{-i\omega x}dx$
$\theta(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\theta(x)e^{-i\omega x}dx$
А для уравнения как? И что вообще с этим дальше делать?

[Red_Herring]

gammaker в сообщении #965260 писал(а):

А для уравнения как? И что вообще с этим дальше делать?

$\Delta u = u_{xx}+u_{yy}$. Если $u\to \hat{u}$, то во что перейдут $u_x$, $u_{xx}$, $u_{yy}$?

Получите ОДУ для $\hat{u}=\hat{u}(\omega,y)$ с граничными условиями при $y=0,\pi$. Решайте. Кстати, кто за Вас $\hat{\theta}$ искать будет?

[gammaker]

Видимо, надо было в обратную сторону преобразование писать. Вот так у меня получилось уравнение
$u''-\omega^2 u=0$, где производные берутся по y.
Решение $u=C_1 e^{\omega y} + C_2 e^{-\omega y}$
$u(\omega, 0)=\theta(\omega)=C_1+C_2$
$u(\omega, \pi)=C_1 e^{\omega\pi} + C_2 e^{-\omega\pi}$
И тупик. Эти граничные условия ничего не дают. Что я делаю не так?

[Red_Herring]

gammaker в сообщении #965327 писал(а):

Что я делаю не так?

Во первых, Вы используете ту же букву для ф-ии и ее преобразования Фурье. Обратите внимание, что я ставлю общепринятую шапочку.

Во вторых, $u|_{y=0}=\theta(x)$, $u|_{y=\pi}=0$ дадут при преобразовании Фурье что?

В третьих, чему равно п.Ф. от $\theta$?

[gammaker]

Я делал так:
$u(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\hat{u}(\omega, y)e^{i\omega x}dx$
$\theta(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\hat{\theta}(\omega)e^{i\omega x}dx$
Отсюда, приравняв подынтегральные функции при y=0, получил
$\hat{u}(\omega, 0)=\hat{\theta}(\omega)$.
Второе граничное условие после преобразования так и даст 0:
$\hat{u}(\omega, \pi)=0$
Разве не так?

[Ms-dos4]

gammaker
1)Во первых, зачем вы написали обратное п.ф (ещё и коэффициенты куда то засунули)? Граничные условия можно найти просто применив к ним п.ф.
2)Но вот например, $\[\theta (x)\]$ - это же функция Хевисайда? Ну так и найдите её образ фурье!
3)Просто тупо возьмите уже п.ф. по $\[x\]$ от $\[{\nabla ^2}u = 0\]$. Какой вид приобретёт уравнение? Вы знаете хотя бы для функции одной переменной, если $\mathfrak{F}$$\[(f)\]$$\[ = \hat f\]$, то чему будет равно $\mathfrak{F}$$\[(\frac{{df}}{{dx}})\]$

[Red_Herring]

ОДУ ТС нашел и даже решил. Но с граничными условиями затормозил.

[Ms-dos4]

Red_Herring
Ага, я это как то пропустил. Но с граничными даже не понятно, в чём там можно завязнуть... Взял п.ф. от обеих частей и всё...

[gammaker]

Ms-dos4 в сообщении #965437 писал(а):

gammaker
1)Во первых, зачем вы написали обратное п.ф (ещё и коэффициенты куда то засунули)? Граничные условия можно найти просто применив к ним п.ф.
2)Но вот например, $\[\theta (x)\]$ - это же функция Хевисайда? Ну так и найдите её образ фурье!
3)Просто тупо возьмите уже п.ф. по $\[x\]$ от $\[{\nabla ^2}u = 0\]$. Какой вид приобретёт уравнение? Вы знаете хотя бы для функции одной переменной, если $\mathfrak{F}$$\[(f)\]$$\[ = \hat f\]$, то чему будет равно $\mathfrak{F}$$\[(\frac{{df}}{{dx}})\]$

1) Коэффициенты поправил. А почему нужно прямое, а не обратное? Мы ведь переходим от $x$ к $\omega$, а не наоборот. Хотя вроде всё равно то же самое получается.
2) Точно! А я голову ломал, что это за функция! В итоге решил, что это просто какая-то неизвестная функция в общем виде. Просто у нас в институте функцию Хевисайда другой буквой обозначают, а в этом задачнике, оказывается, так.

-- 20.01.2015, 14:27 --

Получается расходящийся интеграл.
$\hat{\theta}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-i\omega x}dx$

[Red_Herring]

gammaker в сообщении #965457 писал(а):

Получается расходящийся интеграл.

Он не совсем расходящийся. Вот если $\Im \omega <0$ он сходится к $-i \omega^{-1}$, и потому для вещественных $\omega$ будет $-i (\omega-i0)^{-1}$ (сингулярность в $0$)—все с коэффициентом