движение частиц в центральном поле

[flamesnisa]

Текст задачи: Найти время падения частицы в центр поля -a/r с расстояния R. Скорость частицы в начальный момент времени равна нулю. Указать условия падения. а- const

Условия падения я нашла:
1) a>0, E0>0 (случай притяжения)
2) a>0, E0=0 (инфинитное движение)

$t=±\sqrt{m/2}\int\limits_{0}^{R}dr/\sqrt{E+\alpha/r-M^2/2mr^2}$

Где $-a/r+M^2/(2mr^2 )- U eff$

Объясните, пожалуйста, как берется такой интеграл. Вертела его уже по-разному, все равно не выходит нужный ответ. По идее должен выйти арксинус.

Ответ дан, время падения $\pi\sqrt{MR^3/8\alpha}$

[Ms-dos4]

В поле $\[U = \frac{\alpha }{r}\]$ падение на центр вообще невозможно.

[iifat]

Погуглите Интегрирование квадратичных иррациональностей. Например, [url="http://mathprofi.ru/integrirovanie_kornei.html"]Раз[/url] и [url="http://www.znannya.org/?view=integr-irrac-function"]два[/url].

-- 19.01.2015, 23:13 --

Ms-dos4 в сообщении #964877 писал(а):

В поле $\[U = \frac{\alpha }{r}\]$ падение на центр вообще невозможно

Там же минус, помните? А почему невозможно? Сила всё время в центр, чем ближе, тем больше — куда, по вашему, телу деваться?

[Oleg Zubelevich]

Ms-dos4 в сообщении #964877 писал(а):

В поле $\[U = \frac{\alpha }{r}\]$ падение на центр вообще невозможно.

как все запущено

[Ms-dos4]

iifat
Хоть какой знак у $\[\alpha \]$, в таком полё всё равно невозможно. Причина - в наличие центробежной части в потенциальной энергии, которая стремится к бесконечности как $\[ \sim \frac{1}{{{r^2}}}\]$, поэтому если $\[L \ne 0\]$ (а здесь этого не оговорено), то падение на центр будет возможно лишь начиная с полей $\[\frac{\alpha }{{{r^2}}}\]$ (и то не с любыми $\[\alpha \]$) и ещё более "быстрорастущих" по модулю при приближении к центру.

-- Пн янв 19, 2015 15:18:05 --

Oleg Zubelevich
Ну да, это возможно только в случае, если $\[L = 0\]$, чего я в постановке задачи не вижу

-- Пн янв 19, 2015 15:19:16 --

OOps, там сказано, что $\[{v_0} = 0\]$, беру слова назад

[flamesnisa]

iifat в сообщении #964879 писал(а):

Погуглите Интегрирование квадратичных иррациональностей. Например, [url="http://mathprofi.ru/integrirovanie_kornei.html"]Раз[/url] и [url="http://www.znannya.org/?view=integr-irrac-function"]два[/url].

-- 19.01.2015, 23:13 --

Ms-dos4 в сообщении #964877 писал(а):

В поле $\[U = \frac{\alpha }{r}\]$ падение на центр вообще невозможно

Там же минус, помните? А почему невозможно? Сила всё время в центр, чем ближе, тем больше — куда, по вашему, телу деваться?

Во второй ссылке после примера 33.2 мой случай, после некоторых преобразований. Нужно попробовать, спасибо!

-- 19.01.2015, 16:28 --

Ms-dos4 в сообщении #964884 писал(а):

iifat
Хоть какой знак у $\[\alpha \]$, в таком полё всё равно невозможно. Причина - в наличие центробежной части в потенциальной энергии, которая стремится к бесконечности как $\[ \sim \frac{1}{{{r^2}}}\]$, поэтому если $\[L \ne 0\]$ (а здесь этого не оговорено), то падение на центр будет возможно лишь начиная с полей $\[\frac{\alpha }{{{r^2}}}\]$ (и то не с любыми $\[\alpha \]$) и ещё более "быстрорастущих" по модулю при приближении к центру.

-- Пн янв 19, 2015 15:18:05 --

Oleg Zubelevich
Ну да, это возможно только в случае, если $\[L = 0\]$, чего я в постановке задачи не вижу

-- Пн янв 19, 2015 15:19:16 --

OOps, там сказано, что $\[{v_0} = 0\]$, беру слова назад

Под L - Вы имеете ввиду момент импульса?
Если да, то выходит последнюю часть $M^2/2mr^2$ , где (М- момент импульса) можно опустить, так как падение возможно только при $М=0$? В таком случае, интеграл стократно упрощается и я сглупила, упустив этот момент в исследовании движения частицы....

[Red_Herring]

Ms-dos4 в сообщении #964884 писал(а):

Ну да, это возможно только в случае, если $L = 0$,

Поэтому послать ракету с Земли на Солнце не так легко, как кажется. А то бы давно запустили космонавтов на Солнце (разумеется ночью, чтоб не сгорели)

[Ms-dos4]

Red_Herring
Да, ещё бы. Для этого требуется даже большая скорость, чем для удаления из солнечной системы (здесь я имею ввиду минимально возможные их значения).
Юмор хороший

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.