Верно ли доказательство?

[kavict]

При исследовании свойств системы сжатых капель потребовалось доказать следующее утверждение:

На плоскости имеется точка $O$, через которую проведена ось $X$. На некотором участке плоскости, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до точки $O$, действует преобразование $f$, переводящее отрезок $KL$, перпендикулярный оси $X$ и пересекающий ее в точке $P$, в дугу окружности $K'L'$ радиусом $OP=R$ с центром в точке $O$ с сохранением расстояний вдоль дуги.



Утверждается, что если на месте отрезка $KL$ будет расположена дуга $EF$ радиусом $\rho$, пересекающая ось $X$ в той же точке $P$ с центром $C$, лежащем на оси $X$, то данное преобразование $f$ переведет ее в дугу, так же расположенную, но с иным радиусом $\rho'$ таким, что:

$$\frac 1 {\rho'}\approx\frac 1 \rho+\frac 1 R$$

Доказательство:
Выберем на отрезке $KL$ произвольную точку $M$, отстоящую от $P$ на расстоянии $s$ (первый рисунок). Когда рассматриваемое преобразование переведет отрезок $KL$ в дугу $K'L'$, точка $M$ займет новое положение $M'$ такое, что расстояние $M'P$, измеренное вдоль дуги, не изменится, и останется равным $s$, согласно условию. При этом нормаль к исходному отрезку $KL$, проведенная через точку $M$, повернется на угол

$$\varphi_M=\frac s R$$

и займет положение отрезка $OM'$.

Теперь рассмотрим преобразование дуги $EF$ с радиусом $\rho$, у которой центр кривизны $C$ лежит на оси $X$ слева от точки $P$.



На этой дуге отметим точку $N$, расположенную на том же расстоянии $s$ от точки $P$, измеренном вдоль дуги. Очевидно, что эта точка не совпадает с точкой $M$ на отрезке $KL$, но они могут быть сколь угодно близкими, если выбрать расстояние $s$ достаточно малым. Ввиду этого можно считать, что в результате преобразования $f$ дуга $EF$ изогнется так, что нормаль, проведенная к ней в точке $N$, повернется в ту же сторону и на тот же угол $\varphi_N\approx\varphi_M$, что и у отрезка $KL$ в точке $M$. При этом нормаль займет положение $N'C'$ (второй рисунок). Проведем через точку $N'$ прямую, параллельную $NC$ до пересечения с осью $X$ в точке $A$ и рассмотрим треугольник $AN'C'$. Как известно, внешний угол $\alpha'$ равен сумме внутренних, не смежных с ним:

$$\alpha'=\alpha+\varphi_N\approx\alpha+\varphi_M,$$

но $\alpha'=\frac s {\rho'}$ и $\alpha=\frac s \rho$. Тогда с учетом ранее приведенного выражения для $\varphi_M$ получим:

$$\frac s {\rho'}\approx\frac s \rho+\frac s R,$$

что после сокращения на $s$ даст

$$\frac 1 {\rho'} \approx\frac 1 \rho+\frac 1 R,$$

что и требовалось.

Можно ли принять такое доказательство?

[mihiv]

При некоторых предположениях о преобразовании $f$ можно доказать проще.
Поместим начало системы координат в точку $P$, тогда под действием $f$ точка $(0,s)$ переходит в точку $(-R(1-\cos (\dfrac sR)),R\sin (\dfrac sR))$. Или, оставляя слагаемые не выше второго порядка по $s$, в точку $(s,-\dfrac {s^2}{2R})$, т.е. точка, лежащая на оси $KL$, сдвигается на $-\dfrac {s^2}{2R}$ параллельно оси $X$. Предположим, что таким же образом (сдвигом параллельно оси $X$) преобразуются и точки, лежащие вблизи оси $KL$. Поскольку точки, лежащие на окружности радиуса $\rho $, имеют координаты $(s,-\dfrac {s^2}{2\rho })$, то при действии преобразования $f$ эти точки перейдут в $(s,-\dfrac {s^2}2(\dfrac 1{\rho }+\dfrac 1R))$, то есть на окружность, радиус которой удовлетворяет равенству:

$$\dfrac 1{\rho' }\approx \dfrac 1{\rho }+\dfrac 1R$$

. Недостаток этого и вашего доказательства в том, что нельзя однозначно восстановить преобразование $f$, если известно его действие лишь на точки оси $KL$.

[kavict]

mihiv, ваше доказательство мне нравится больше. Кроме того, в своем доказательстве я рассматривал углы поворота, что для множества точек не совсем понятно, и это меня смущало. В вашем же рассматриваются смещения точек, и все становится на свои места. Спасибо.

В новой редакции своей книги я приведу ваше доказательство со ссылкой на вас, если не возражаете.

[mihiv]

kavict, у меня-то как раз остается сомнение по поводу этого доказательства, потому что

mihiv в сообщении #968199 писал(а):

нельзя однозначно восстановить преобразование $f$, если известно его действие лишь на точки оси $KL$.

Так, например, существует преобразование инверсии, которое переводит прямую $KL$ в окружность $L'PK'$ и оставляет неподвижными точки окружности, лежащей между $KL$ и $L'PK'$.
Поэтому нужны какие-то дополнительные сведения об этом преобразовании.

[Skeptic]

Почему $\varphi_M=\varphi_N $?

Что будет при $R=\infty$?

[kavict]

mihiv в сообщении #968874 писал(а):

kavict, у меня-то как раз остается сомнение по поводу этого доказательства, потому что

mihiv в сообщении #968199 писал(а):

нельзя однозначно восстановить преобразование $f$, если известно его действие лишь на точки оси $KL$.

Так, например, существует преобразование инверсии, которое переводит прямую $KL$ в окружность $L'PK'$ и оставляет неподвижными точки окружности, лежащей между $KL$ и $L'PK'$.
Поэтому нужны какие-то дополнительные сведения об этом преобразовании.

Как мне представляется, однозначно восстановить преобразование $f$ можно, если известно положение точки $P$ (можно назвать ее полюсом преобразования). Тогда $R=OP$, по новому положению точки $M'$ строим симметричную ей относительно прямой $OP$ точку $M''$ и через $M'PM''$ проводим окружность - так мы определим радиус $\rho'$. Далее, из соотношения

$$\frac 1 \rho=\frac 1 {\rho'}-\frac 1 R$$

находим исходный радиус $\rho$ (правда, исходное соотношение было приближенным). По найденному радиусу $\rho$ строим дугу, проходящую через точку $P$ с центром, лежащим на прямой $OP$, а по известному расстоянию $PM'$, измеренному вдоль дуги, восстанавливаем исходное положение $M$ точки.

-- 28.01.2015, 18:52 --

Skeptic в сообщении #969072 писал(а):

Почему $\varphi_M=\varphi_N $?

В моем доказательстве это равенство записано приближенным, т.к. точки $M$ и $N$ принимаются достаточно близкими, и можно считать, что при данном преобразовании повороты в этих точках примерно одинаковы.

-- 28.01.2015, 18:55 --

Skeptic в сообщении #969072 писал(а):

Что будет при $R=\infty$?

Предполагается, что в данном преобразовании с ростом $R$ смещение точек уменьшается. Так что на бесконечности это преобразование не действует и точки не сдвигаются.