Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
11.01.2015, 01:26
а) Можно ли расставить на рёбрах куба 12 последовательных натуральных чисел так, чтобы сумма чисел на любых трёх рёбрах, имеющих общую вершину, была степенью двойки с натуральным показателем?
б) Тот же вопрос, но про 12 последовательных целых чисел.
Я думаю, что в пункте а) ответ отрицателен. Чтобы доказать это, сложим суммы при каждой из вершин. Так как каждое ребро мы посчитали дважды, у нас получится удвоенная сумма 12 последовательных натуральных чисел. Такая сумма обязана давать остаток 4 при делении на 8. С другой стороны, эта же сумма является суммой восьми степеней двойки, каждая из которых больше 4 (так как все числа натуральные!). Такая сумма очевидно делится на 8. Мы пришли к противоречию.
В пункте б) нам уже не удастся воспользоваться тем, что все числа натуральные, поэтому... Пожалуйста, помогите решить. Заранее спасибо!
Mihr
Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
12.01.2015, 09:48
Ktina, в случае б) ответ положительный. Пример: расставим числа от до 8 следующим образом на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре на ребре
P.S. "Теоретического исследования" я не проводил. Просто подобрал решение.
Ktina
Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
13.01.2015, 00:25
Mihr Большое спасибо!
Mihr
Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
13.01.2015, 01:09
Ktina, и Вам спасибо за задачу.
Shadow
Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
13.01.2015, 10:55
Последний раз редактировалось Shadow 13.01.2015, 10:56, всего редактировалось 1 раз.
(Оффтоп)
И Вам спасибо за Ваше "спасибо" и за всех последующих "спасибо" с Вашей стороны. А то зациклимся
Mihr
Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
13.01.2015, 12:21
(Оффтоп)
Shadow, Спасибо и Вам за уместное замечание. Так что "цикл" почти неизбежен.