2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение11.01.2015, 01:26 
Аватара пользователя
а) Можно ли расставить на рёбрах куба 12 последовательных натуральных чисел так, чтобы сумма чисел на любых трёх рёбрах, имеющих общую вершину, была степенью двойки с натуральным показателем?

б) Тот же вопрос, но про 12 последовательных целых чисел.

Я думаю, что в пункте а) ответ отрицателен. Чтобы доказать это, сложим суммы при каждой из вершин. Так как каждое ребро мы посчитали дважды, у нас получится удвоенная сумма 12 последовательных натуральных чисел. Такая сумма обязана давать остаток 4 при делении на 8. С другой стороны, эта же сумма является суммой восьми степеней двойки, каждая из которых больше 4 (так как все числа натуральные!). Такая сумма очевидно делится на 8.
Мы пришли к противоречию.

В пункте б) нам уже не удастся воспользоваться тем, что все числа натуральные, поэтому...
Пожалуйста, помогите решить. Заранее спасибо!

 
 
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение12.01.2015, 09:48 
Аватара пользователя
Ktina,
в случае б) ответ положительный.
Пример: расставим числа от $-3$ до 8 следующим образом
$-3$ на ребре $AB$
$-2$ на ребре $AA_1$
$-1$ на ребре $BC$
$0$ на ребре $CD$
$1$ на ребре $DD_1$
$2$ на ребре $A_1B_1$
$3$ на ребре $C_1D_1$
$4$ на ребре $A_1D_1$
$5$ на ребре $CC_1$
$6$ на ребре $BB_1$
$7$ на ребре $AD$
$8$ на ребре $B_1C_1$

P.S. "Теоретического исследования" я не проводил. Просто подобрал решение.

 
 
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 00:25 
Аватара пользователя
Mihr
Большое спасибо!

 
 
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 01:09 
Аватара пользователя
Ktina,
и Вам спасибо за задачу.

 
 
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 10:55 

(Оффтоп)

И Вам спасибо за Ваше "спасибо" и за всех последующих "спасибо" с Вашей стороны. А то зациклимся

 
 
 
 Re: 12 последовательных натуральных чисел на рёбрах куба
Сообщение13.01.2015, 12:21 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Shadow,
Спасибо и Вам за уместное замечание.
Так что "цикл" почти неизбежен. :-)

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group