Доказательство ВТФ для Р = 3

[vasili]

vladimirmir2012! Из условия $Z = X +a$, благодаря формуле Абеля $Z- X= a = d_1^3$ и $Y = U_1d_1$,

где $(U_1, d_1) = 1\engo(1)$

общим делителем чисел a и Y , будет $d_1$.
Тогда
$X^3 + U_1^3d_1^3 =(X +d_1^3)^3$,
отсюда

$X^3 +U_1^3d_1^3 = X^3 + 3Xd_1^3(X +d_1^3) + (d_1^3)^3$,

тогда после сокращения на $d_1^3$

$U_1^3 = 3X^3(X + d_1^3) +(d_1^3)^2$.

Если $(X, d_1) = d_1$, то из последнего равенства

$(U_1,d_1) = d_1$, что противоречит (1), а значит числа X и a не имеют общих делителей.

[vladimirmir2012]

vasili в сообщении #965024 писал(а):

vladimirmir2012! Из условия $Z = X +a$, благодаря формуле Абеля $Z- X= a = d_1^3$ и $Y = U_1d_1$,
где $(U_1, d_1) = 1\engo(1)$

Кстати из

vladimirmir2012 в сообщении #964454 писал(а):

$1 =\frac{a}{y^3}(3x^2 + 3xa + a^2 )$

следует, что $y^3$ должен на цело делиться на $a$ и поэтому $y$ представим в виде $y = d_1d_2^3$
где $a =d_1^3$
Т.е. имеем подтверждение формулы Абеля в части $Z- X= a = d_1^3$
А вот обратил внимание на то, что и $Y = U_1d_1$ также подтверждается /сравните с $y = d_1d_2^3$ /

PS: Знаете во всем с чем не сталкивался в жизни подтверждаются слова великого святого Амвросия Оптинского
«Где просто, там ангелов со сто, а где мудрено — там ни одного»
/просьба не развивать эту мысль далее, а то .../

[vladimirmir2012]

vladimirmir2012 в сообщении #964454 писал(а):

Вот мой новый велосипед:

Продолжим ...
Теперь пусть $z = y + b$

$x^3 + y^3 = z^3$ (1)

Разделим (1) на $x^3$

$ 1 + \frac{y^3}{x^3} = (\frac{y}{x} + \frac{b}{x})^3 = \frac{y^3}{x^3} + 3(\frac{y}{x})^2(\frac{b}{x}) + 3(\frac{y}{x})(\frac{b}{x})^2 + (\frac{b}{x})^3$
после упрощения и выноса за скобки имеем:
$1 =\frac{b}{x^3}(3y^2 + 3yb + b^2 )$ Отсюда следует, что $b$ и $x$ должны иметь какой-то общий множитель
Поэтому $b = d_2^3$

Вывод:

Если $x^3 + y^3 = z^3$ истинно, то

$z = x + d_1^3$ при этом $y = U_1d_1^3$ а также

$z = y + d_2^3$ при этом $x = U_2d_2^3$

PS: Не проверял, но похоже вышеприведенные выводы можно доказать и для общего случая

Если $x^n + y^n = z^n$ истинно, то

$z = x + d_1^n$ при этом $y = U_1d_1^n$ а также

$z = y + d_2^n$ при этом $x = U_2d_2^n$

[ananova]

Если $d_2^3=1$, ... Такое возможно?
Тогда $x=U_2$

[vasili]

vladimirmir2012! Ваш "новый велосипед" не вписывается в давно известные соотношения.Откуда Вы взяли, что

$Y = U_1d_1^3$ и $X = U_2d_2^3$ или $Y = d_1d_2^3$?

[vladimirmir2012]

vasili в сообщении #966604 писал(а):

vladimirmir2012! Ваш "новый велосипед" не вписывается в давно известные соотношения.Откуда Вы взяли, что
$Y = U_1d_1^3$ и $X = U_2d_2^3$ или $Y = d_1d_2^3$?

Из

vladimirmir2012 в http://dxdy.ru/post964454.html#p964454 писал(а):

$1 =\frac{a}{y^3}(3x^2 + 3xa + a^2 )$

следует, что $a$ и $y$ должны иметь какой-то общий множитель. Обозначим его $d_1$.
Тогда $y = d_1d_2...d_m$, где $d_1, d_2, ...d_m$ простые множители $y$.
С учетом этого представим $y^3= d_1^3d_2^3...d_m^3$.
Отсюда видно, что $a$ равно произведению третьих степеней каких-то простых множителей $y$.
Т.е. $a = d_1^3$ /обратите внимание, что строкой выше оговорено, что $a$ можем быть произведением нескольких простых множителей $y$/
Поэтому мы вправе утверждать, что $y = d_1^3u_1$ и $a = d_1^3$
Ответил на часть вашего вопроса. Так как остальные равенства могут быть объяснены аналогичными рассуждениями ...

-- 22.01.2015, 21:57 --

ananova в сообщении #966601 писал(а):

Если $d_2^3=1$, ... Такое возможно?

Это частный случай. И может ли быть $d_2^3=1$ мне не известно.
Просто из довольно простых рассуждений были выведены формулы для допустимых значений $x$ и $y$ для третьей степени.

[ananova]

Если Вы принимаете $y=d_1^3u_1$, то $y^3=d_1^9u_1^3$.
Подставьте их в Ваше уравнение, имеющее в левой части $1$, и найдете ошибку.

[vladimirmir2012]

ananova в сообщении #966986 писал(а):

Если Вы принимаете $y=d_1^3u_1$, то $y^3=d_1^9u_1^3$.
Подставьте их в Ваше уравнение, имеющее в левой части $1$, и найдете ошибку.

Да вы правы. Недосмотрел.
Уточняю...
"Поэтому мы вправе утверждать, что $y^3 = d_1^3u_1$ и $a = d_1^3$"

Вообщем похоже понял к чему вы ведете.
Пока считаю, что вы правы и меняю текст "Вывод" на

Вывод:

Если $x^3 + y^3 = z^3$ истинно, то

$z = x + d_1^3$ при этом $y = U_1d_1$ а также

$z = y + d_2^3$ при этом $x = U_2d_2$

PS: Не проверял, но похоже вышеприведенные выводы можно доказать и для общего случая

Если $x^n + y^n = z^n$ истинно, то

$z = x + d_1^n$ при этом $y = U_1d_1$ а также

$z = y + d_2^n$ при этом $x = U_2d_2$

[vasili]

vladimirmir2012! Полученные Вами правильные соотношения справедливы если ни X ни Y не делятся на простое число

$n > 2$. Если к примеру $(X,3)=3$, то

$Z =Y +d_2^3/3$

[ananova]

vasili в сообщении #967060 писал(а):

vladimirmir2012! Полученные Вами правильные соотношения справедливы если ни X ни Y не делятся на простое число

$n > 2$. Если к примеру $(X,3)=3$, то

$Z =Y +d_2^3/3$

Надо исходить из того, что $Z-Y$ в этом (Cлучае 2 ВТФ) должен иметь множитель $3^{3k-1}$.
Поэтому я бы написал так: $Z =Y +d_x^3 3^{3k-1}$, где $k=1,2,3,...$, где $d_x^3 3^{3k-1}=Z-Y$
В целом, это все есть в книге Рибенбойма.

[vasili]

vladimirmir2012!Зная формулы Абеля, в случае когда $(X, 3) = 3$, легко показать, что

$(d_2, 3) = 3$. Предложенное ananova выражение $d_2^3 = d_X^33^{3K-1}$ легко доказываемое для $K = 2$.

При $K=1$ приходим к противоречию.

[ananova]

vasili в сообщении #967107 писал(а):

vladimirmir2012!Зная формулы Абеля, в случае когда $(X, 3) = 3$, легко показать, что

$(d_2, 3) = 3$. Предложенное ananova выражение $d_2^3 = d_X^33^{3K-1}$ легко доказываемое для $K = 2$.

При $K=1$ приходим к противоречию.

Стоп!
где я писал такое?
$d_2^3 = d_X^33^{3K-1}$
Мое сообщение выглядело так:

ananova в сообщении #967088 писал(а):

$Z =Y +d_x^3 3^{3k-1}$

Что равносильно
$Z-Y=d_x^3 3^{3k-1}$
В левой части нет куба, а по Вашим словам, я его там вижу. Откройте страницу 119 у Рибенбойма - там подробно это описывается, только в других обозначениях.

[vasili]

ananova! Конечно же Вы правы. Правильно будет $Z -Y =d_2^3/3 = d_x^33^{3K -1}$

[ananova]

Это хорошо, что есть взаимопонимание. Оно еще понадобится. У меня в загашничке есть темка - "священный гроаль" - рекурентный спуск (подъем) по тройкам ВТФ, что-то никак не добью тексты (почти как год). Буду обращаться за помощью когда приведу в потребный вид.

[vladimirmir2012]

vasili в сообщении #967060 писал(а):

vladimirmir2012! Полученные Вами правильные соотношения справедливы если ни X ни Y не делятся на простое число

$x^n + y^n = z^n$ (1)

$x$ и $y$ не могут быть простыми числами, так как исходя из (1) имеем:

$x^n = (z - y)u_1$ (2)
или
$y^n = (z - x)u_2$ (3)

Из (2) и (3) следует, что $x$ и $y$ являются составными числами

Единственно возможный путь для того, чтобы $x$ или $y$ были простыми это выполнении одного из равенств:
$1 = z - y$ или
$1 = z - x$

Кстати подтверждением того, что $x$ и $y$ являются составными числами являются ранее приведенные равенства:
$z = x + d_1^n$ при этом $y = U_1d_1$ и

$z = y + d_2^n$ при этом $x = U_2d_2$

отсюда
$z - x = d_1^n$ и

$z - y = d_2^n$

Тогда (2) и (3) могут быть записаны как:

$x^n = d_2^nu_1$
или
$y^n = d_1^nu_2$