Пустое отношение

[Kras]

Итак имеется пять свойств: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность, антисимметричность.
Доказать, что пустое отношение на непустом множестве обладает всеми свойствами кроме рефлексивности.
Доказать, что пустое отношение на пустом множестве обладает всеми пятью указанными свойствами.

Как это делается?

Итак, в любом множестве нет таких $x$, что выполнялось бы $xRx$. Это ясно из определения пустого отношения и отсюда следует антирефлексивность. Почему на пустом множестве оно рефлексивно?

Далее, в любом множестве нет таких $x,y$ что выполнялось бы $xRy$, однако симметричность требует импликацию $xRy \Rightarrow yRx$. Вроде бы в таком виде формулу использовать нельзя, надо её переформулировать для моего конкретного случая. Как это делается?

То же самое по поводу транзитивности.

Если я пишу 'как это делается' значит я хочу понять как это делается. Это и есть конкретное затруднение. Переоформил сообщение специально для Lia.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите Ваши попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[provincialka]

Потому что для несуществующих объектов выполняются все свойства. Просто по определению. Так что отношение на пустом множестве и рефлексивно, и симметрично, и транзитивно.

[Otta]

Определения отношения нам и не сказали как раз, а это тут самое интересное.

[provincialka]

Да. Приходится "восстанавливать" его из самого утверждения.

[Kras]

Цитата:

Определения отношения нам и не сказали как раз, а это тут самое интересное.

Говорят, что на множестве задано бинарное отношение $ \mathcal R $, если указано подмножество $ \mathcal R $ декартова квадрата этого множества.

Пустое отношение не выполняется ни для какой пары. Например мы можем потребовать, чтобы сумма натуральных чисел была одновременно четным и нечетным числом. Ясно, что подмножество всех таких пар $x,y$ пустое.

[Otta]

Kras в сообщении #957108 писал(а):

Говорят, что на множестве задано бинарное отношение $ \mathcal R $, если указано подмножество $ \mathcal R $ декартова квадрата этого множества.

Пустое отношение не выполняется ни для какой пары.

Короче говоря, это какое подмножество декартова квадрата?

[Kras]

пустое подмножество

[Otta]

Хорошо. Давайте я не буду писать какую-то левую $R$, а так и напишу $x\varnothing y\Leftrightarrow (x,y)\in \varnothing$. Хорошо? А Вы напишите определение рефлексивности этого отношения на непустом множестве и сделайте выводы.
Во всех определениях выше Вы множество опускали, поэтому и они неверны, и Вы ошибаетесь.

[Kras]

$(x,y) \in \varnothing$
что это?
ни один элемент не принадлежит пустому множеству

[Someone]

Kras в сообщении #957154 писал(а):

$(x,y) \in \varnothing$
что это?
ни один элемент не принадлежит пустому множеству

Ну и что же? Мы ведь пишем $(x,y)\in\mathcal R$. Если $\mathcal R=\varnothing$, а Вам ведь именно такое $\mathcal R$ задано, то и получается $(x,y)\in\varnothing$. А Вы чего хотели?

[Kras]

Насколько я успел понять, запись $x\mathcal Ry$ некорректна, если речь идёт о пустом отношении.

Цитата:

Вам ведь именно такое $\mathcal R$ задано

Мне даны определения
1. Рефлексивность $x\mathcal Rx, \forall x \in X$
2. Симметричность $x\mathcal Ry \Rightarrow y\mathcal Rx$
3. Транзитивность $x\mathcal Ry, y\mathcal Rz \Rightarrow x\mathcal Rz$
где $\mathcal R$ это бинарное отношение на X

Цитата:

А Вы чего хотели?

Я хотел узнать, каким местом применить эти определения, если $\mathcal R$ пустое множество.

[provincialka]

Kras в сообщении #957164 писал(а):

Насколько я успел понять, запись $x\mathcal Ry$ некорректна, если речь идёт о пустом отношении.

Что вы понимаете под "корректностью"? Некорректное высказывание -- то, которое нельзя считать только истинным или только ложным. Высказывание $x\mathcal Ry$ просто ложно. И тем самым корректно. Оно просто не выполняется ни для каких конкретных $(x,y)$.

Тут надо разобраться в смысле импликации "Если А то В". Когда она верна?

[Kras]

Она верна если
1. A ложно
2. A и B оба являются истинными.