2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пустое отношение
Сообщение05.01.2015, 14:55 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Итак имеется пять свойств: рефлексивность, симметричность, транзитивность, антирефлексивность, антисимметричность.
Доказать, что пустое отношение на непустом множестве обладает всеми свойствами кроме рефлексивности.
Доказать, что пустое отношение на пустом множестве обладает всеми пятью указанными свойствами.

Как это делается?

Итак, в любом множестве нет таких $x$, что выполнялось бы $xRx$. Это ясно из определения пустого отношения и отсюда следует антирефлексивность. Почему на пустом множестве оно рефлексивно?

Далее, в любом множестве нет таких $x,y$ что выполнялось бы $xRy$, однако симметричность требует импликацию $xRy \Rightarrow yRx$. Вроде бы в таком виде формулу использовать нельзя, надо её переформулировать для моего конкретного случая. Как это делается?

То же самое по поводу транзитивности.

Если я пишу 'как это делается' значит я хочу понять как это делается. Это и есть конкретное затруднение. Переоформил сообщение специально для Lia.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.01.2015, 14:59 
Модератор


20/03/14
8218
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите Ваши попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.01.2015, 19:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5697
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение05.01.2015, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Потому что для несуществующих объектов выполняются все свойства. Просто по определению. Так что отношение на пустом множестве и рефлексивно, и симметрично, и транзитивно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение05.01.2015, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6740
Определения отношения нам и не сказали как раз, а это тут самое интересное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение05.01.2015, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Да. Приходится "восстанавливать" его из самого утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 06:33 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Цитата:
Определения отношения нам и не сказали как раз, а это тут самое интересное.

Говорят, что на множестве задано бинарное отношение $ \mathcal R $, если указано подмножество $ \mathcal R $ декартова квадрата этого множества.

Пустое отношение не выполняется ни для какой пары. Например мы можем потребовать, чтобы сумма натуральных чисел была одновременно четным и нечетным числом. Ясно, что подмножество всех таких пар $x,y$ пустое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 08:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6740
Kras в сообщении #957108 писал(а):
Говорят, что на множестве задано бинарное отношение $ \mathcal R $, если указано подмножество $ \mathcal R $ декартова квадрата этого множества.

Пустое отношение не выполняется ни для какой пары.

Короче говоря, это какое подмножество декартова квадрата?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 09:07 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
пустое подмножество

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 09:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6740
Хорошо. Давайте я не буду писать какую-то левую $R$, а так и напишу $x\varnothing y\Leftrightarrow (x,y)\in \varnothing$. Хорошо? А Вы напишите определение рефлексивности этого отношения на непустом множестве и сделайте выводы.
Во всех определениях выше Вы множество опускали, поэтому и они неверны, и Вы ошибаетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 11:09 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
$(x,y) \in \varnothing$
что это?
ни один элемент не принадлежит пустому множеству

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15767
Новомосковск
Kras в сообщении #957154 писал(а):
$(x,y) \in \varnothing$
что это?
ни один элемент не принадлежит пустому множеству
Ну и что же? Мы ведь пишем $(x,y)\in\mathcal R$. Если $\mathcal R=\varnothing$, а Вам ведь именно такое $\mathcal R$ задано, то и получается $(x,y)\in\varnothing$. А Вы чего хотели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 11:36 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Насколько я успел понять, запись $x\mathcal Ry$ некорректна, если речь идёт о пустом отношении.
Цитата:
Вам ведь именно такое $\mathcal R$ задано

Мне даны определения
1. Рефлексивность $x\mathcal Rx, \forall x \in X$
2. Симметричность $x\mathcal Ry \Rightarrow y\mathcal Rx$
3. Транзитивность $x\mathcal Ry, y\mathcal Rz \Rightarrow x\mathcal Rz$
где $\mathcal R$ это бинарное отношение на X
Цитата:
А Вы чего хотели?

Я хотел узнать, каким местом применить эти определения, если $\mathcal R$ пустое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11660
Казань
Kras в сообщении #957164 писал(а):
Насколько я успел понять, запись $x\mathcal Ry$ некорректна, если речь идёт о пустом отношении.

Что вы понимаете под "корректностью"? Некорректное высказывание -- то, которое нельзя считать только истинным или только ложным. Высказывание $x\mathcal Ry$ просто ложно. И тем самым корректно. Оно просто не выполняется ни для каких конкретных $(x,y)$.

Тут надо разобраться в смысле импликации "Если А то В". Когда она верна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пустое отношение
Сообщение06.01.2015, 11:50 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Она верна если
1. A ложно
2. A и B оба являются истинными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group