Пустое отношение

[Kras]

Цитата:

напишу $x\varnothing y\Leftrightarrow (x,y)\in \varnothing$. Хорошо? А Вы напишите определение рефлексивности этого отношения на непустом множестве и сделайте выводы.

$(x,x)\in \varnothing$ ложно $\forall x \in X$

Если $X$ пустое, тогда $\nexists x \in X, (x,x)\in \varnothing$
что в общем-то верно

[Someone]

Kras, я покажу, как это делается для рефлексивности, а остальное Вы сделаете сами.
Прежде всего, определение рефлексивности лучше написать без сокращений:
отношение $\mathcal R$ на множестве $X$ рефлексивно, если $\forall x(x\in X\Rightarrow x\mathcal Rx)$.
Пусть $\mathcal R=\varnothing$.
Если $X\neq\varnothing$, то существует элемент $x\in X$, и для этого $x$ высказывание $x\mathcal Rx$ ложно, поэтому импликация $x\in X\Rightarrow x\mathcal Rx$ ложна (ведь $x\in X$ истинно), поэтому и всё высказывание $\forall x(x\in X\Rightarrow x\mathcal Rx)$ ложно, то есть, пустое отношение $\mathcal R$ не рефлексивно.
Если же $X=\varnothing$, то высказывание $x\in X$ ложно, поэтому импликация истинна для любого $x$, то есть, наше отношение рефлексивно (но оно, очевидно, является единственным отношением на пустом множестве; впрочем, модели на пустом множестве обычно не рассматриваются, и по умолчанию предполагается, что $X\neq\varnothing$).

Остальные свойства аккуратно рассмотрите сами.

[Kras]

Отношение $\mathcal R$ на множестве $X$ симметрично, если $\forall x,y((x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)\Rightarrow y\mathcal Rx)$.
Пусть $\mathcal R=\varnothing$.

Если $X\neq\varnothing$, то существуют элементы $x,y\in X$, и для них высказывания $x\mathcal Ry$ и $y\mathcal Rx$ являются ложными. Тогда высказывание $(x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)$ также будет ложным, поэтому импликация $(x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)\Rightarrow y\mathcal Rx$ истинна, и всё высказывание $\forall x,y((x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)\Rightarrow y\mathcal Rx)$ истинно, то есть пустое отношение $\mathcal R$ симметрично.

Если $X=\varnothing$, то высказывание $x\in X$ ложно, поэтому $(x\in X\wedge y\in X\wedge x\mathcal Ry)$ ложно, и поэтому импликация истинна для любых $x$ и $y$, то есть отношение $\mathcal R$ симметрично.

Всё верно?

[provincialka]

Верно. Только в

Kras в сообщении #957790 писал(а):

для них высказывания $x\mathcal Ry$ и $y\mathcal Rx$ являются ложными

второе соотношение является лишним: оно верно, но не нужно.
(То есть верно, что ложно )

[Kras]

Спасибо за помощь. Оказалось, что это довольно простая штука.

[Kras]

То есть пустое отношение на пустом множестве является отношением эквивалентности?

[Otta]

Вы же проверили.

[Kras]

Да, я уже сам с собой. Я просто постигаю новые термины.

[arseniiv]

И порядка! И, о боже, линейного порядка.