Квадрат и луч

[EngineEnergy]

Как разбить квадрат на такие три части, которые не могут быть пересечены одним лучом одновременно?

Дополнительные, но не обязательные условия:

1. Квадрат должен быть разделен на три равные по площади части.

2. С каждой из полученных частей квадрата должна быть возможность эффективного нахождения точек пересечения луча с данными областями. Чем проще тем лучше.

[provincialka]

А почему именно луч, а не прямая? Это важно?
Являются ли части замкнутыми? Если да и луч проходит по границе, считается ли, что он пересекает две части?

Без дополнительных условий и с открытыми частями делим квадрат прямой, потом одну из частей - прямой, перпендикулярной первой.В общем, 1, 2 четверти, и 3-ья+4-ая.

[gris]

Луч испускается из фиксированной определённой точки? Пересечение ощей границы допустимо? Или же имеется в виду любая прямая?
+++ Изоморфизм или телепатия?

[EngineEnergy]

provincialka в сообщении #954582 писал(а):

А почему именно луч, а не прямая? Это важно?
Являются ли части замкнутыми? Если да и луч проходит по границе, считается ли, что он пересекает две части?

Неважно. Пойдет даже отрезок. Главное чтобы он полностью пересекал квадрат. По границе разделения луч не пройдет. Вероятность этого очень мала, что луч на практике пройдет по этой границе. Так что данный вариант не учитываем.

Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие. Иначе мы разделим квадрат на большее количество частей, что запрещено задачей.

-- 30.12.2014, 18:54 --

gris в сообщении #954585 писал(а):

Луч испускается из фиксированной определённой точки? Пересечение ощей границы допустимо? Или же имеется в виду любая прямая?

Луч может испускаться совершенно из любой точки при условии что та находится за пределами квадрата.

[gris]

Квадрат можно очевидным образом разбить на четыре четвертушки так, что не существует прямой, проходящей по внутренним точкам из каждой части. Вы хотите того же для трёх частей.

[provincialka]

EngineEnergy в сообщении #954586 писал(а):

Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие.

А кто делил? Я взяла два квадрата $0.5\times 0.5$ и прямоугольник $0.5\times 1$.
Но для равновеликих частей сложнее.

[EngineEnergy]

gris в сообщении #954589 писал(а):

Квадрат можно очевидным образом разбить на четыре четвертушки так, что не существует прямой, проходящей по внутренним точкам из каждой части. Вы хотите того же для трёх частей.

Это смотря как разбить. Но, в данной задаче речь идет именно о трех частей.

-- 30.12.2014, 19:11 --

provincialka в сообщении #954591 писал(а):

EngineEnergy в сообщении #954586 писал(а):

Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие.

А кто делил? Я взяла два квадрата $0.5\times 0.5$ и прямоугольник $0.5\times 1$.
Но для равновеликих частей сложнее.

И Вы считаете, что через эти три части нельзя провести луч? Проверьте ещё раз.

[gris]

provincialka, можно бы двигать длинный отрезок для равновеликости, но наклонная прямая пересечёт все три
Я просто пример привёл для уяснения, с четырьмя частями. Любое разбиение двумя пересекающимися внутри квадрата прямыми подойдёт. Это аффинно очевидно. С тремя не видно пока очевидного.

[provincialka]

А, ну да. Я слишком крайние прямые рассматривала.

Но если таких частей нет, доказать это не так просто.

-- 30.12.2014, 18:23 --

Можно ли считать очевидным, что есть точка $O$, являющаяся граничной для всех трех частей? Будем считать, что части - многоугольники. Тогда в точке $O$ хотя бы один многоугольник имеет угол меньший развернутого. Тогда его можно пересечь прямой, достаточно близкой к $O$, которая пересекает и границы с двумя другими частями.

Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

[grizzly]

А мы тут помогаем или решаем? :)

provincialka в сообщении #954598 писал(а):

Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

А какая разница? Если границы -- непрерывные кривые, то можно взять точку на границе любых двух частей (пусть лучше не на границе квадрата), провести через неё прямую и покрутить её по кругу. Это идея, но я не предвижу трудностей расписать дальше доказательство. Но вдруг? пусть ТС попытается сам.

[EngineEnergy]

provincialka в сообщении #954598 писал(а):

Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

Думаете разбить квадрат фракталом? Попытайтесь. Суммарная площадь трех частей квадрата должна быть равна площади самого квадрата. С фракталом сделать это будет трудно.

[provincialka]

Я фракталов вообще не знаю. Просто когда говорят "произвольные части", я сразу пугаюсь и представляю что-нибудь из книжечки Виленкина.

[12d3]

Можно порешать задачку в такой формулировке: можно ли квадрат разбить на три множества точек ненулевой меры, чтобы любая тройка точек из разных множеств не лежала на одной прямой.

[EngineEnergy]

Задачу можно упростить до следующего: "Возможно ли разбить любую простую геометрическую фигуру на три части таким образом, чтобы они не могли быть пересечены одним лучом одновременно".

В качестве первого претендента предлагаю рассмотреть треугольник.

[arseniiv]

Простую — это какую? Может, выпуклую лучше?

(Это вы всё про сферы никак забыть не можете, угадал? Но тогда почему не куб?)