2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:34 
Как разбить квадрат на такие три части, которые не могут быть пересечены одним лучом одновременно?

Дополнительные, но не обязательные условия:

1. Квадрат должен быть разделен на три равные по площади части.

2. С каждой из полученных частей квадрата должна быть возможность эффективного нахождения точек пересечения луча с данными областями. Чем проще тем лучше.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:47 
Аватара пользователя
А почему именно луч, а не прямая? Это важно?
Являются ли части замкнутыми? Если да и луч проходит по границе, считается ли, что он пересекает две части?

Без дополнительных условий и с открытыми частями делим квадрат прямой, потом одну из частей - прямой, перпендикулярной первой.В общем, 1, 2 четверти, и 3-ья+4-ая.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:52 
Аватара пользователя
Луч испускается из фиксированной определённой точки? Пересечение ощей границы допустимо? Или же имеется в виду любая прямая?
+++ Изоморфизм или телепатия? :-)

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 17:53 
provincialka в сообщении #954582 писал(а):
А почему именно луч, а не прямая? Это важно?
Являются ли части замкнутыми? Если да и луч проходит по границе, считается ли, что он пересекает две части?

Неважно. Пойдет даже отрезок. Главное чтобы он полностью пересекал квадрат. По границе разделения луч не пройдет. Вероятность этого очень мала, что луч на практике пройдет по этой границе. Так что данный вариант не учитываем.

Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие. Иначе мы разделим квадрат на большее количество частей, что запрещено задачей.

-- 30.12.2014, 18:54 --

gris в сообщении #954585 писал(а):
Луч испускается из фиксированной определённой точки? Пересечение ощей границы допустимо? Или же имеется в виду любая прямая?

Луч может испускаться совершенно из любой точки при условии что та находится за пределами квадрата.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:02 
Аватара пользователя
Квадрат можно очевидным образом разбить на четыре четвертушки так, что не существует прямой, проходящей по внутренним точкам из каждой части. Вы хотите того же для трёх частей.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:07 
Аватара пользователя
EngineEnergy в сообщении #954586 писал(а):
Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие.
А кто делил? Я взяла два квадрата $0.5\times 0.5$ и прямоугольник $0.5\times 1$.
Но для равновеликих частей сложнее.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:08 
gris в сообщении #954589 писал(а):
Квадрат можно очевидным образом разбить на четыре четвертушки так, что не существует прямой, проходящей по внутренним точкам из каждой части. Вы хотите того же для трёх частей.

Это смотря как разбить. Но, в данной задаче речь идет именно о трех частей.

-- 30.12.2014, 19:11 --

provincialka в сообщении #954591 писал(а):
EngineEnergy в сообщении #954586 писал(а):
Три полученные области больше делить никак нельзя - это ещё одно условие.
А кто делил? Я взяла два квадрата $0.5\times 0.5$ и прямоугольник $0.5\times 1$.
Но для равновеликих частей сложнее.

И Вы считаете, что через эти три части нельзя провести луч? Проверьте ещё раз.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:12 
Аватара пользователя
provincialka, можно бы двигать длинный отрезок для равновеликости, но наклонная прямая пересечёт все три :-(
Я просто пример привёл для уяснения, с четырьмя частями. Любое разбиение двумя пересекающимися внутри квадрата прямыми подойдёт. Это аффинно очевидно. С тремя не видно пока очевидного.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:15 
Аватара пользователя
А, ну да. Я слишком крайние прямые рассматривала.

Но если таких частей нет, доказать это не так просто.

-- 30.12.2014, 18:23 --

Можно ли считать очевидным, что есть точка $O$, являющаяся граничной для всех трех частей? Будем считать, что части - многоугольники. Тогда в точке $O$ хотя бы один многоугольник имеет угол меньший развернутого. Тогда его можно пересечь прямой, достаточно близкой к $O$, которая пересекает и границы с двумя другими частями.

Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:37 
Аватара пользователя
А мы тут помогаем или решаем? :)
provincialka в сообщении #954598 писал(а):
Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

А какая разница? Если границы -- непрерывные кривые, то можно взять точку на границе любых двух частей (пусть лучше не на границе квадрата), провести через неё прямую и покрутить её по кругу. Это идея, но я не предвижу трудностей расписать дальше доказательство. Но вдруг? пусть ТС попытается сам.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 18:38 
provincialka в сообщении #954598 писал(а):
Можно ли придумать что-то не многоугольное, типа фрактала?

Думаете разбить квадрат фракталом? Попытайтесь. Суммарная площадь трех частей квадрата должна быть равна площади самого квадрата. С фракталом сделать это будет трудно.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 20:05 
Аватара пользователя
Я фракталов вообще не знаю. Просто когда говорят "произвольные части", я сразу пугаюсь и представляю что-нибудь из книжечки Виленкина.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение30.12.2014, 20:24 
Можно порешать задачку в такой формулировке: можно ли квадрат разбить на три множества точек ненулевой меры, чтобы любая тройка точек из разных множеств не лежала на одной прямой.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение31.12.2014, 18:56 
Задачу можно упростить до следующего: "Возможно ли разбить любую простую геометрическую фигуру на три части таким образом, чтобы они не могли быть пересечены одним лучом одновременно".

В качестве первого претендента предлагаю рассмотреть треугольник.

 
 
 
 Re: Квадрат и луч
Сообщение31.12.2014, 20:49 
Простую — это какую? Может, выпуклую лучше?

(Это вы всё про сферы никак забыть не можете, угадал? Но тогда почему не куб?)

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group