Формула Стирлинга.

[frankenstein]

Сегодня сидел, хотел как можно больше упростить формулу Стирлинга, но так,
чтобы выражение:

$$ \lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{S(n)}} = 1 $$

Оставалось истинным.
У меня вопрос, истинно ли выражение:

$$ \lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{\sqrt{n} (\frac{n}{x})^n}} = 1 $$

, где

$$ x : \lim_{n \to \infty}{x^n} = \infty $$

?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[grizzly]

frankenstein в сообщении #952256 писал(а):

истинно ли выражение:
...

Попробуйте внимательно рассмотреть саму формулу Стирлинга и найти все отличия от Вашей. После этого в качестве упражнения попытайтесь доказать, что каждое из отличий (по отдельности и в совокупности) несовместимо с правильностью формулы.

[frankenstein]

Формула Стирлинга:

$$ n! = R_a \cdot \sqrt{2 \pi n} \cdot ( \frac{n}{e} )^n $$

Моя

$$ n! = R_b \cdot \sqrt{n} \cdot ( \frac{n}{x} )^n $$

, где

$$ x : \lim_{n \to \infty}{x^n} = \infty $$

Ну, тут отличия видны - я попытался убрать константы, ясно, что от $2\pi$ можно
избавиться, но вот можно ли заменить костанту $e$ другой, степень которой тоже
стремиться к бесконечности?

Думаю, под истинностью формулы (не важно какой) вы имеете в виду истинность соответсвующего
равенства. А что вы подразумеваете под "отличие несовместимо с правильностью формулы"?

[grizzly]

Ну это я так предлагаю Вам доказать, что нельзя ни от константы избавиться, ни, тем более, $x$ вместо $e$ использовать (если только не оговорить, что $x=e$).
Это всё очень просто доказывается. Если не будете сильно упрямиться, докажете это быстрее, чем пришли к своей "оптимизации" :)

-- 25.12.2014, 22:32 --

Секундочку. А распишите, пожалуйста, своё понимание $R_a$ и то, каково, по-Вашему, его назначение в этой формуле. Может, на этом всё и прояснится.

[frankenstein]

под $R_a$ я имею ввиду некое действительное число,
т. е. формула верна с точностью до константы, аааа, нет, стойте, тогда
разве:

$$ \lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n}} = 1 $$

?

Затрудняюсь, видимо, многозадачность не мое

-- 25.12.2014, 23:50 --

Вообще, я пришел к этой задачке, когда решил интерполировать набор точек экспоненциальной функцией,
точнее факториалом.
Решил интерполировать мнк, неизвестных хотелось больше (не только подобрать значение для
коэффициента).
Но теперь, я пришел к тому что осознал, что плохо понимаю формулу Стирлинга, и вообще пределы
и асимптоты.

[Aritaborian]

frankenstein в сообщении #952322 писал(а):

экспоненциальной функцией,
точнее факториалом

Но ведь экспонента и факториал это совсем не одно и то же.

[grizzly]

Насчёт формулы Стирлинга -- Вы на верном пути, пока можете дальше разбираться самостоятельно до следующего тупика.

frankenstein в сообщении #952322 писал(а):

плохо понимаю формулу Стирлинга, и вообще

Не страшно, осознание этого -- самый важный шаг. Но вот Вам для лучшего понимания:

Цитата:

Для любого $n \ge 1$ отношение $\dfrac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}$ всегда расположено на числовой оси между $\sqrt{2\pi} = 2.5066... $ и $e = 2.71828...$.

Это впечатляет!

[abiturient]

На сайтехе, вспомнилось, http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 1416633238
Надеюсь, автор того поста не будет против.

[frankenstein]

grizzly в сообщении #952344 писал(а):

Но вот Вам для лучшего понимания:

Цитата:

Для любого $n \ge 1$ отношение $\dfrac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}$ всегда расположено на числовой оси между $\sqrt{2\pi} = 2.5066... $ и $e = 2.71828...$.

Это впечатляет!

Но ведь

$$\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^{n+1/2} e^{-n}}} = 1$$

А, нет, неужели:

$$\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^{n+1/2} e^{-n}}} = \sqrt{2 \pi }$$

?

Цитата:

Формула Стирлинга не дает приближения факториала с точностью до константы, а что-то другое.

Вот какой вывод я сделал.

[ИСН]

frankenstein в сообщении #952459 писал(а):

А, нет, неужели:
$\lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^{n+1/2} e^{-n}}} = \sqrt{2 \pi }$?

ВНЕЗАПНО...
так и есть!

[frankenstein]

)))))))))) -

[Евгений Машеров]

Быв школьником, я сильно впечатлился формулой Стирлинга и задумался, как к ней можно придти (не доказать - доказательство через интеграл от логарифма просто и школьник может его понять, а как догадаться).
И пришёл к такой цепочке рассуждений.
Факториал не может быть приближен полиномом сколь угодно высокой степени, если n окажется больше этой степени, факториал будет расти быстрее. Аналогично недостаточно и экспоненты при любом сколь угодно большом основании. Так как у нас n сомножителей, из которых один равен n, и много близких к нему, можно попробовать $n^n$. Но посчитав - обнаруживаем, что это уже перебор. Он, очевидно, оттого, что не все сомножители близки к n, они меньше, и можно попробовать взять основание с уменьшающей поправкой $(\frac n k)^n$, подбирая k.
Отношение $\frac {n!} {(n-1)!}=n$, а нам надо, чтобы $\frac {(\frac n k)^n} {(\frac {n-1} k)^{n-1}}=n$, но для этого $k=(1+\frac 1 {n-1})^{n-1}$
Ура! Второй замечательный предел!
А вот восстановить логику для получения корня из два-Пи-Эн я не могу, помню, там как-то играло выражение Валлиса для $\pi$ в виде бесконечного произведения. Может, ещё и вспомню.

[sup]

Евгений Машеров в сообщении #952957 писал(а):

А вот восстановить логику для получения корня из два-Пи-Эн я не могу, помню, там как-то играло выражение Валлиса для $\pi$ в виде бесконечного произведения

Я тоже как-то озаботился аналогичным вопросом . Я хотел "школьными" методами найти множитель $\sqrt n$ в формуле Стирлинга. Оказывается, есть простая оценка для $A^2$, где

$$A = \frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}$$

Поскольку $(\frac{2k+1}{2k})^2 > \frac{k+1}{k}$, то $A^2 > n+1$. А если по-другому сгруппировать множители в числителе и применить неравенство $(k-1)(k+1) < k^2$, то получится неравенство $A^2 < 3(2n+1)/4$. Отсюда уже можно "догадаться", что в формуле Стирлинга есть еще и $\sqrt n$. А вот уж константу $\sqrt {2 \pi }$ придется вытаскивать из формулы Валлиса.

[Евгений Машеров]

Помнится, я рассматривал $\frac {(2n)!} {(n!)^2}$, и отсюда, расписав, приходил к произведению Валлиса (который, разумеется, Уоллес, но пусть остаётся Валлисом, дискутирующим с Невтоном;) )
Надо бы вспомнить и аккуратно расписать.