Формула Стирлинга.

[Евгений Машеров]

frankenstein в сообщении #952256 писал(а):

где

$$ x : \lim_{n \to \infty}{x^n} = \infty $$

?

Какой утончённый способ сказать $x>1$...

[Евгений Машеров]

Пытаюсь вспомнить рассуждение...
Пусть $n! =K(n)(\frac n e)^n$
где K(n) искомый "поправочный коэффициент"
Тогда
$\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\frac {K(2n)2^{2n}}{K(n)^2}$
После сокращения на $2^{2n}$
получим
$\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac {K(2n)}{K(n)^2}$

-- 29 дек 2014, 13:29 --

Слева уже просматривается произведение Валлиса, с точностью до множителя. А вот как дальше думал - забыл

[sup]

Сначала надо "догадаться", что $K(n) = \sqrt {2\pi n} L(n)$. При этом,
$\sqrt[n]{L(n)} \to 1$
Подставляя это выражение в формулу Валлиса, получим
$\frac{L^2(n)}{L(2n)} = R(n) = 1 + o(1)$
Перемножая все это, получаем
$L^2(n) = \prod \limits_{k \geqslant 0} (R(2^k n))^{\frac{1}{2^k}}$
Значит
$L(n) \to 1$

[Евгений Машеров]

Я боюсь, что до такого уровня я тогда и не дошёл. Удовлетворился приятным чувством понимания, откуда здесь $\sqrt{2\pi n}$ взялось.

[sup]

А я был рад, что смог выловить $\sqrt n$ без дополнительных формул . А уж чему равна константа, это ладно.

-- Вт дек 30, 2014 12:54:57 --

Однако, должен признаться, получил все это я уже в конце обучения в университете. А вовсе не школьником.

[Евгений Машеров]

Встретил в какой-то популярной книжке формулу Стирлинга, малость охренел, проверял вручную
Потом начал думать, откуда она взялась. Почему $n^n$ интуитивно понятно было, до $(\frac n e)^n$ дошёл с некоторым скрипом, но вот $\sqrt {2\pi n}$ совершенно непонятно было, откуда берётся. В другой научпоповской встретил формулу Валлиса, стало ясно, при чём тут Пи к факториалам, получил просветление в мозгах, но до строгого вывода, разумеется, дойти не смог.

[sup]

У меня все было с точностью до наоборот. Формулу Стирлинга я знал.
А однажды, наткнулся на задачу в Демидовиче
$\lim \limits_{n \to \infty} \frac {n}{\sqrt[n]{n!}} = e$
Причем в разделе пределов. Т.е. в самом начале. Значит должно быть "элементарное" решение. А уже решив эту задачу я задумался и насчет корня. Идея "понижения" порядка через четные числа пришла быстро, после чего возникла дробь из факториалов. Как ее оценивать - не понятно. И тут я сжульничал. Зная, что там должен быть корень, я все возвел в квадрат. Ну а дальше пара пассов и готово. Не думаю, что смог бы это сделать в школе.

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #952957 писал(а):

А вот восстановить логику для получения корня из два-Пи-Эн я не могу, помню, там как-то играло выражение Валлиса для $\pi$ в виде бесконечного произведения. Может, ещё и вспомню.

Ни в жисть не вспомните. Никаких Валлисов (тем более произведений) там и в помине нет, там тупо метод Лапласа.

[Евгений Машеров]

Я знаю, как формулу доказывают, но здесь я всего лишь вспоминаю, как в ней разбирался. Ну и, кстати, сам Стирлинг испытал бы некоторые трудности в использовании метода Лапласа - Лаплас родится почти через два десятилетия после опубликования формулы...

[ewert]

(Оффтоп)

Вредноносная привычка к играм, ч.т.д. Ничего личного, ессно -- просто зафиксировано.

[Евгений Машеров]

Да, я люблю подобного рода немудрёные забавы. Кстати, интересно было бы найти письмо Стирлинга к Муавру, в котором он и указывает, что оставленный тем неизвестным коэффициент равен $\sqrt{2\pi}$.
Где-то в англоязычных хрестоматиях по истории математики может быть, о я что-то не нашёл. Интересно, как он получил коэффициент, и отчего его не увидел Муавр.

[Евгений Машеров]

Ля... Нашёл. Не само письмо, а изложение. Оказывается, Стирлинг именно бесконечным произведением Валлиса и воспользовался...
https://books.google.ru/books?id=pOQy6- ... re&f=false