Теория Вероятности

[TripleLucker]

Здравствуйте. Такая задача:

${A_1},...,{A_n}$ - независимые события, $P({A_i}) = {p_i}$

Требуется доказать неравенство :

$\[P({A_1} \cup ... \cup {A_n}) \ge 1 - {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} }}\]$

Что у меня получилось:

Я расписал формулу объединения $n$ событий и разложил в ряд тейлора экспоненту, после разложения там часть слагаемых превратились в формулу объединения $n$ событий таким образом:

$\[1 - {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} }} = P({A_1} \cup ... \cup {A_n}) - (\frac{{p_1^2 + .. + p_n^2}}{2} - \frac{{p_1^3 + .. + p_n^3 + ({p_1} + .. + {p_n})(p_1^2 + .. + p_n^2)}}{6} + ...)\]$

Получается, нужно показать, что вот этот второй член в скобках $\ge 0$, но никак не получается. Прошу помочь, пожалуйста.

[provincialka]

А не проще перейти к противоположному событию? (пока не считала, так, мысль)

[TripleLucker]

provincialka в сообщении #950016 писал(а):

А не проще перейти к противоположному событию? (пока не считала, так, мысль)

Не думал об этом. Я еще поправил степень экспоненты, там перед суммой минус стоит.

[provincialka]

Часть вида $1-$ каг бэ намекает. Но надо думать.

[TripleLucker]

Просто при разложении экспоненты единицы сразу сокращаются и не мозолят глаза. Поэтому как-то и не пробовал с дополнительным событием работать.

[provincialka]

Кстати, независимость в совокупности? Или попарно?

-- 20.12.2014, 21:06 --

Если независимость в совокупности, там все хорошо получается. Достаточно знать о выпуклости экспоненты в 0.

[TripleLucker]

В совокупности. Получается то, что я написал, можно вообще убрать? Можно хотя бы идею какую-нибудь? Я вообще не вижу, как мне выпуклость помогает здесь.

[provincialka]

Про выпуклость -- это я так, для загадошности Потом поймете

Вы перешли к дополнительному событию? Как в этом случае перепишется неравенство?

-- 20.12.2014, 21:29 --

$B=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i$. Чему равно $\overline{B}$? А $p(\overline B)$?

[TripleLucker]

$\[P({{\bar A}_1} \cap ... \cap {{\bar A}_n}) \le {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} }}\]$
Я боюсь какую-нибудь глупость написать.

[provincialka]

Ой, нет! Это неравенство тривиально. Еще подумайте.

-- 20.12.2014, 21:34 --

Теперь верно.

[TripleLucker]

Раз сами события независимые, то и их дополнения независимы. Можем ту штуку слева расписать: $\[(1 - {p_1})(1 - {p_2})..(1 - {p_n})\]$. Правильно же?

[provincialka]

Ага! Кстати, и справа по сути стоит произведение.

[TripleLucker]

$\[(1 - {p_1})(1 - {p_2})..(1 - {p_n}) \le {e^{ - {p_1}}}{e^{ - {p_2}}}..{e^{ - {p_n}}} = (1 - {p_1} + \frac{{p_1^2}}{2} - \frac{{p_1^3}}{6}..)(..)..(..)\]$

Ну вот $\frac{{p_1^2}}{2} \ge \frac{{p_1^3}}{6}$ выполняется для всех ${p_i}$, т.к. они меньше единицы и больше нуля. Поэтому справа в каждой скобке стоит число больше числа в похожей скобке слева. Но это как-то некрасиво...

Ну дальше тоже число с четвертой степенью больше числа с пятой и так далее, так что все эти точки будут положительным числом.

[provincialka]

Стоило на минутку (на часок) отвлечься, а тут ТАКОЕ!
Сравнивайте каждый сомножитель слева с аналогичным справа!!!!

[TripleLucker]

Ну я имел ввиду для каждой скобки такое сравнение, просто пример привел на первой.